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up:: fonction intégrable #s/maths/intégration

[!definition] ensemble des fonctions intégrables Soit (E, \mathcal{A}, \mu) un espace mesuré On note \mathscr{L}_{\mathbb{K}}^{1}(E, \mathcal{A}, \mu) l'ensemble des fonction intégrable de (E, \mathcal{A}, \mu) dans (\mathbb{K}, \mathcal{B}(\mathbb{K})) On note \mathscr{L}^{1} pour parler de \mathscr{L}_{\mathbb{R}}^{1}, en sous-entandant l'espace mesuré actuel. ^definition

Propriétés

[!proposition]+ l'ensemble des fonctions intégrables est un espace vectoriel Soit (E, \mathcal{A}, \mu) un espace mesuré \mathscr{L}_{\mathbb{R}}^{1}(E, \mathcal{A}, \mu) est un espace vectoriel dans lequel f \mapsto \int_{E} f \, d\mu est linéaire.

[!démonstration]- Démonstration Soient f, g \in \mathscr{L^{1}} et \lambda \in \mathbb{R} \underbrace{|\lambda f+g|}_{\text{mesure} \geq 0} \leq \underbrace{|\lambda||f| + |g|}_{\text{mesure}\geq 0} donc \displaystyle\int_{E} |\lambda f+g| \, d\mu \leq {\int_{E} (|\lambda||f| + |g|) \, d\mu} = |\lambda| \int_{E} |f| \, d\mu + \int_{E} |g| \, d\mu < +\infty Donc \lambda f+g \in \mathscr{L}^{1}

Exemples