up:: [[fonction intégrable]]
#s/maths/intégration 

> [!definition] [[ensemble des fonctions intégrables]]
> Soit $(E, \mathcal{A}, \mu)$ un [[espace mesuré]]
> On note $\mathscr{L}_{\mathbb{K}}^{1}(E, \mathcal{A}, \mu)$ l'ensemble des [[fonction intégrable|fonctions intégrables]] de $(E, \mathcal{A}, \mu)$ dans $(\mathbb{K}, \mathcal{B}(\mathbb{K}))$
> On note $\mathscr{L}^{1}$ pour parler de $\mathscr{L}_{\mathbb{R}}^{1}$, en sous-entandant l'espace mesuré actuel.
^definition

# Propriétés

> [!proposition]+ l'ensemble des fonctions intégrables est un espace vectoriel
> Soit $(E, \mathcal{A}, \mu)$ un [[espace mesuré]]
> $\mathscr{L}_{\mathbb{R}}^{1}(E, \mathcal{A}, \mu)$ est un [[espace vectoriel]] dans lequel $f \mapsto \int_{E} f \, d\mu$ est linéaire.
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Soient $f, g \in \mathscr{L^{1}}$ et $\lambda \in \mathbb{R}$
> > $\underbrace{|\lambda f+g|}_{\text{mesure} \geq 0} \leq \underbrace{|\lambda||f| + |g|}_{\text{mesure}\geq 0}$
> > donc
> > $\displaystyle\int_{E} |\lambda f+g| \, d\mu \leq {\int_{E} (|\lambda||f| + |g|) \, d\mu} = |\lambda| \int_{E} |f| \, d\mu + \int_{E} |g| \, d\mu  < +\infty$
> > Donc $\lambda f+g \in \mathscr{L}^{1}$

# Exemples