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- "[[calcul différentiel]]"
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tags:
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- s/maths/analyse
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> [!definition] Définition
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> Soient $(E, \|\cdot\|_{E})$ et $(F, \|\cdot\|_{F})$ deux [[espace vectoriel normé|espaces vectoriels normés]] de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension]] finie
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> Soit $\Omega$ un [[partie ouverte d'un espace métrique|ouvert]] de $E$
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> Soit $x \in \Omega$
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> Soit $f : \Omega \to F$
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> On dit que $f$ est différentiable en $x$ s'il existe une [[application linéaire]]
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> $L_{x} : E \to F$
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> telle que
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> $f(x + h) = f(x) + L_{x}(h) + \underset{h \to 0}{o}(h)$
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> Si une telle application linéaire existe, elle est **unique**, on l'appelle **différentielle de $f$ au point $x$** et on note :
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> $L_{x} = df(x)$
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>
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> > [!démonstration]- Démonstration de l'unicité
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> > On suppose qu'il existe deux applications linéaires $L_1$ et $L_2$ telles que $f(x+h) = f(x)+L_1(h) + o(h) = f(x)+L_2(h) + o(h)$
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> > On a donc $L_1(h) - L_2 (h) = o(h) - o(h) = o(h) = \|h\| \varepsilon(h)$ avec $\varepsilon(h) \xrightarrow{h \to 0} 0$
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> > On fixe $h \in E$.
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> > Alors, pour $t > 0$ suffisamment petit on a alors :
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> > $L_1(th) - L_2(\mathrm{th}) = \|t h\| \varepsilon(t h)$ avec $\varepsilon(t h) \xrightarrow{h \to 0} 0$
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> > et comme $\|t h\| = t \|h\|$, on obtient :
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> > $L_1(h) - L_2(h) = \|h\| \varepsilon(t h) \xrightarrow{t \to 0} 0$
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> > donc $L_1(h) - L_2(h) = 0$
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> > c'est à dire $L_1(h) = L_2(h)$
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^definition
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```breadcrumbs
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title: "Sous-notes"
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type: tree
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collapse: false
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show-attributes: [field]
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field-groups: [downs]
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depth: [0, 0]
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```
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# Propriétés
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> [!proposition]+ équivalence entre dérivabilité et différentiabilité sur $\mathbb{R}$
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> Si $f : ]a, b[ \to \mathbb{R}$ est dérivable en $x \in ]a, b[$, alors $f$ est différentiable en $x$ et $df(x) : h \mapsto h f'(x)$
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> Réciproquement, si $f : ]a, b[ \to \mathbb{R}$ est différentiable en $x \in ]a, b[$ alors elle est dérivable en $x$ est $f'(x) = df(x)(1)$
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> [!proposition]+ combinaison linéaire de fonctions différentiables
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> Si $f: \Omega \to F$ et $g: \Omega \to F$ sont deux fonction différentiables en $x \in \Omega$
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> alors $\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}$ la fonction $\alpha f + \beta g : \Omega \to F$ est différentiable en $x$, et :
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> $\mathrm{d}(\alpha f + \beta g)(x) = \alpha \mathrm{d}f(x) + \beta \mathrm{d}g(x)$
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>
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > $$\begin{align}
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> > (\alpha f + \beta g)(x+h) &= \alpha f(x+h) + \beta g(x+h) \\
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> > &= \alpha (f(x) + \mathrm{d}f(x) + o(h)) + \beta (g(x) + \mathrm{d}g(x) + o(h)) & \text{car } f \text{ et } g \text{ sont différentiables}\\
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> > &= \alpha f(x) + \beta g(x) + \alpha \mathrm{d}f(x)(h) + \beta \mathrm{d}g(x)(h) + o(h) \\
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> > &= (\alpha f + \beta g)(x) + (\alpha \mathrm{d}f(x) + \beta \mathrm{d}g(x))(h) + o(h)
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> > \end{align}$$
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> [!proposition]+ produit de fonctions différentiables
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> Si $f: \Omega \to \mathbb{R}$ et $g: \Omega \to \mathbb{R}$ sont deux fonction différentiables en $x \in \Omega$
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> alors $fg : \Omega \to \mathbb{R}$ est différentiable en $x$ et $\mathrm{d}(fg)(x) = g(x)\mathrm{d}f(x) + f(x)\mathrm{d}g(x)$
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>
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > $$\begin{align}
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> > (fg)(x+h) &= f(x+h) g(x+h) \\
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> > &= (f(x) + \mathrm{d}f(x)(h) +o(h)) (g(x) +\mathrm{d}g(x)(h) + o(h)) \\
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> > &= f(x)g(x) + \underbrace{g(x)\mathrm{d}f(x)(h)+f(x)\mathrm{d}g(x)(h)}_{ \in \mathscr{L}(E, \mathbb{R})} + \underbrace{\mathrm{d}f(x)(h)\mathrm{d}g(x)(h) + o(h)}_{=o(h)}
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> > \end{align}$$
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> > Ensuite, soit $L : E \to F$ une [[application linéaire continue]], $\exists C > 0,\quad \forall h \in E,\quad \|L(h)\|_{F} \leq C \cdot \|h\|_{E}$.
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> > Le plus petit $C$ qui convient s'appelle la [[norme triple]] de $L$, notée $|\!|\!|L|\!|\!|$.
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> > On a alors :
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> > $$\begin{align}
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> > \frac{|\mathrm{d}f(x)(h)\mathrm{d}g(x)(h)|}{\|h\|} &= \frac{1}{\|h\|} \left( |\mathrm{d}f(x)(h)| \cdot |\mathrm{d}g(x)(h)| \right) \\
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> > &\leq \frac{1}{\|h\|} (|\!|\!|\mathrm{d}f(x)|\!|\!| \|h\| \cdot |\!|\!|\mathrm{d}g(x)|\!|\!| \|h\|) \\
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> > &\leq |\!|\!|\mathrm{d}f(x)|\!|\!| \cdot |\!|\!|\mathrm{d}g(x)|\!|\!| \|h\| \xrightarrow{h \to 0} 0
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> > \end{align}$$
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> > donc $\mathrm{d}f(x)(h) \mathrm{d}g(x)(h) = o(h)$
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> [!proposition]+ différentielle de l'inverse
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> Si $f : \Omega \to ]0, +\infty[$ est différentiable en $x_0 \in \Omega$
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> alors l'application :
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> $\begin{align} \frac{1}{f} : \Omega &\to ]0, +\infty[ \\ x &\mapsto \frac{1}{f(x)} \end{align}$
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> est différentiable en $x_0$, et :
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> $\mathrm{d}\left( \frac{1}{f} \right)(x_0)= -\dfrac{1}{f^{2}(x_0)} \times \mathrm{d}f(x_0)$
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>
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > Si on définit $\begin{align} \psi : ]0, +\infty[ & \to \mathbb{R} \\ y &\mapsto \psi(y) = \frac{1}{y} \end{align}$
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> > alors $\frac{1}{f} = \psi \circ f$
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> > Or, $\psi$ est [[fonction différentiable|différentiable]] (car [[fonction dérivable|dérivable]]) sur $]0; +\infty[$
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> > Ainsi :
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> > $\mathrm{d}\left( \frac{1}{f} \right)(x_0) = \mathrm{d}\psi(f(x_0))\circ \mathrm{d}f(x_0)$
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> > Or, $\forall k \in \mathbb{R},\quad \forall y \in \mathbb{R},\quad \mathrm{d}\psi(y)k = \psi'(y)k = -\frac{k}{y^{2}}$
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> > donc $\forall h \in E,\quad \mathrm{d}\left( \frac{1}{f} \right)(x_0)(h) = \mathrm{d}\psi(\underbrace{f(x_0)}_{y}) \cdot \underbrace{(\mathrm{df(x_0)(h)})}_{k} = \psi'(f(x_0)) \times \mathrm{d}f(x_0)(h) = - \frac{\mathrm{d}f(x_0)(h)}{(f(x_0))^{2}}$
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> > Autrement dit : $\underbrace{\mathrm{d}\left( \frac{1}{f} \right)(x_0)}_{\in\mathcal{L}(E, \mathbb{R})} = \underbrace{-\frac{1}{f^{2}(x_0)}}_{\in \mathbb{R}} \times \underbrace{\mathrm{d}f(x_0)}_{\in \mathcal{L}(E, \mathbb{R})}$
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> >
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> [!proposition]+ différentielle d'une composée
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> Soient $E, F, G$ des [[espace vectoriel|espaces vectoriels]]
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> Soient $\Omega$ un ouvert de $E$ et $\Omega'$ un [[partie ouverte d'un espace métrique|ouvert]] de $F$
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> Soient $f : \Omega \subset E \to F$ et $g : \Omega' \subset F \to G$
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> Si $f(\Omega) \subset \Omega'$
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> alors $f$ est [[fonction différentiable|différentiable]] en $x \in \Omega$ et $g$ est [[fonction différentiable|différentiable]] en $f(x)$
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> et alors $g \circ f$ est [[fonction différentiable|différentiable]] et :
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> $\boxed{\mathrm{d}(g \circ f)(x) = \mathrm{d}g(f(x)) \circ \mathrm{d}f(x)}$
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> >
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^differentielle-d-une-composee
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# Exemples
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