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up:
  - "[[calcul différentiel]]"
tags:
  - s/maths/analyse
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> [!definition] Définition
> Soient $(E, \|\cdot\|_{E})$ et $(F, \|\cdot\|_{F})$ deux [[espace vectoriel normé|espaces vectoriels normés]] de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension]] finie
> Soit $\Omega$ un [[partie ouverte d'un espace métrique|ouvert]] de $E$
> Soit $x \in \Omega$
> Soit $f : \Omega \to F$
> On dit que $f$ est différentiable en $x$ s'il existe une [[application linéaire]] 
> $L_{x} : E \to F$
> telle que 
> $f(x + h) = f(x) + L_{x}(h) + \underset{h \to 0}{o}(h)$
> Si une telle application linéaire existe, elle est **unique**, on l'appelle **différentielle de $f$ au point $x$** et on note :
> $L_{x} = df(x)$
> 
> > [!démonstration]- Démonstration de l'unicité
> > On suppose qu'il existe deux applications linéaires $L_1$ et $L_2$ telles que $f(x+h) = f(x)+L_1(h) + o(h) = f(x)+L_2(h) + o(h)$
> > On a donc $L_1(h) - L_2 (h) = o(h) - o(h) = o(h) = \|h\| \varepsilon(h)$ avec $\varepsilon(h) \xrightarrow{h \to 0} 0$
> > On fixe $h \in E$.
> > Alors, pour $t > 0$ suffisamment petit on a alors :
> > $L_1(th) - L_2(\mathrm{th}) = \|t h\| \varepsilon(t h)$ avec $\varepsilon(t h) \xrightarrow{h \to 0} 0$
> > et comme $\|t h\| = t \|h\|$, on obtient :
> > $L_1(h) - L_2(h) = \|h\| \varepsilon(t h) \xrightarrow{t \to 0} 0$
> > donc $L_1(h) - L_2(h) = 0$
> > c'est à dire $L_1(h) = L_2(h)$
^definition

```breadcrumbs
title: "Sous-notes"
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depth: [0, 0]
```
# Propriétés

> [!proposition]+ équivalence entre dérivabilité et différentiabilité sur $\mathbb{R}$
> Si $f : ]a, b[ \to \mathbb{R}$ est dérivable en $x \in ]a, b[$, alors $f$ est différentiable en $x$ et $df(x) : h \mapsto h f'(x)$
> Réciproquement, si $f : ]a, b[ \to \mathbb{R}$ est différentiable en $x \in ]a, b[$ alors elle est dérivable en $x$ est $f'(x) = df(x)(1)$

> [!proposition]+ combinaison linéaire de fonctions différentiables
> Si $f: \Omega \to F$ et $g: \Omega \to F$ sont deux fonction différentiables en $x \in \Omega$
> alors $\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}$ la fonction $\alpha f + \beta g : \Omega \to F$ est différentiable en $x$, et :
> $\mathrm{d}(\alpha f + \beta g)(x) = \alpha \mathrm{d}f(x) + \beta \mathrm{d}g(x)$
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > $$\begin{align} 
> > (\alpha f + \beta g)(x+h) &= \alpha f(x+h) + \beta g(x+h) \\
> > &= \alpha (f(x) + \mathrm{d}f(x) + o(h)) + \beta (g(x) + \mathrm{d}g(x) + o(h)) & \text{car } f \text{ et } g \text{ sont différentiables}\\
> > &= \alpha f(x) + \beta g(x) + \alpha \mathrm{d}f(x)(h) + \beta \mathrm{d}g(x)(h) + o(h) \\
> > &= (\alpha f + \beta g)(x) + (\alpha \mathrm{d}f(x) + \beta \mathrm{d}g(x))(h) + o(h)
> > \end{align}$$

> [!proposition]+ produit de fonctions différentiables
> Si $f: \Omega \to \mathbb{R}$ et $g: \Omega \to \mathbb{R}$ sont deux fonction différentiables en $x \in \Omega$
> alors $fg : \Omega \to \mathbb{R}$ est différentiable en $x$ et $\mathrm{d}(fg)(x) = g(x)\mathrm{d}f(x) + f(x)\mathrm{d}g(x)$
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > $$\begin{align}
> > (fg)(x+h) &= f(x+h) g(x+h) \\
> > &= (f(x) + \mathrm{d}f(x)(h) +o(h)) (g(x) +\mathrm{d}g(x)(h) + o(h)) \\
> > &= f(x)g(x) + \underbrace{g(x)\mathrm{d}f(x)(h)+f(x)\mathrm{d}g(x)(h)}_{ \in \mathscr{L}(E, \mathbb{R})} + \underbrace{\mathrm{d}f(x)(h)\mathrm{d}g(x)(h) + o(h)}_{=o(h)}
> > \end{align}$$
> > Ensuite, soit $L : E \to F$ une [[application linéaire continue]], $\exists C > 0,\quad \forall h \in E,\quad \|L(h)\|_{F} \leq C \cdot \|h\|_{E}$.
> > Le plus petit $C$ qui convient s'appelle la [[norme triple]] de $L$, notée $|\!|\!|L|\!|\!|$.
> > On a alors :
> > $$\begin{align}
> > \frac{|\mathrm{d}f(x)(h)\mathrm{d}g(x)(h)|}{\|h\|} &= \frac{1}{\|h\|} \left( |\mathrm{d}f(x)(h)| \cdot |\mathrm{d}g(x)(h)| \right) \\
> > &\leq  \frac{1}{\|h\|} (|\!|\!|\mathrm{d}f(x)|\!|\!| \|h\| \cdot |\!|\!|\mathrm{d}g(x)|\!|\!| \|h\|) \\
> > &\leq  |\!|\!|\mathrm{d}f(x)|\!|\!| \cdot |\!|\!|\mathrm{d}g(x)|\!|\!| \|h\| \xrightarrow{h \to 0} 0
> > \end{align}$$
> > donc $\mathrm{d}f(x)(h) \mathrm{d}g(x)(h) = o(h)$

> [!proposition]+ différentielle de l'inverse
> Si $f : \Omega \to ]0, +\infty[$ est différentiable en $x_0 \in \Omega$
> alors l'application :
>  $\begin{align} \frac{1}{f} : \Omega &\to ]0, +\infty[ \\ x &\mapsto \frac{1}{f(x)} \end{align}$
>  est différentiable en $x_0$, et :
> $\mathrm{d}\left( \frac{1}{f} \right)(x_0)= -\dfrac{1}{f^{2}(x_0)} \times \mathrm{d}f(x_0)$
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Si on définit $\begin{align} \psi : ]0, +\infty[ & \to \mathbb{R} \\ y &\mapsto \psi(y) = \frac{1}{y} \end{align}$
> > alors $\frac{1}{f} = \psi \circ f$
> > Or, $\psi$ est [[fonction différentiable|différentiable]] (car [[fonction dérivable|dérivable]]) sur $]0; +\infty[$
> > Ainsi :
> > $\mathrm{d}\left( \frac{1}{f} \right)(x_0) = \mathrm{d}\psi(f(x_0))\circ \mathrm{d}f(x_0)$
> > Or, $\forall k \in \mathbb{R},\quad \forall y \in \mathbb{R},\quad \mathrm{d}\psi(y)k = \psi'(y)k = -\frac{k}{y^{2}}$
> > donc $\forall h \in E,\quad \mathrm{d}\left( \frac{1}{f} \right)(x_0)(h) = \mathrm{d}\psi(\underbrace{f(x_0)}_{y}) \cdot \underbrace{(\mathrm{df(x_0)(h)})}_{k} = \psi'(f(x_0)) \times \mathrm{d}f(x_0)(h) = - \frac{\mathrm{d}f(x_0)(h)}{(f(x_0))^{2}}$
> > Autrement dit : $\underbrace{\mathrm{d}\left( \frac{1}{f} \right)(x_0)}_{\in\mathcal{L}(E, \mathbb{R})} = \underbrace{-\frac{1}{f^{2}(x_0)}}_{\in \mathbb{R}} \times \underbrace{\mathrm{d}f(x_0)}_{\in \mathcal{L}(E, \mathbb{R})}$
> > 

> [!proposition]+ différentielle d'une composée
> Soient $E, F, G$ des [[espace vectoriel|espaces vectoriels]]
> Soient $\Omega$ un ouvert de $E$ et $\Omega'$ un [[partie ouverte d'un espace métrique|ouvert]] de $F$
> Soient $f : \Omega \subset E \to F$ et $g : \Omega' \subset F \to G$
> Si $f(\Omega) \subset \Omega'$
> alors $f$ est [[fonction différentiable|différentiable]] en $x \in \Omega$ et $g$ est [[fonction différentiable|différentiable]] en $f(x)$
> et alors $g \circ f$ est [[fonction différentiable|différentiable]] et :
> $\boxed{\mathrm{d}(g \circ f)(x) = \mathrm{d}g(f(x)) \circ \mathrm{d}f(x)}$
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > 
^differentielle-d-une-composee

# Exemples