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- s/maths
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- irrationnalité de √2
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- démonstration irrationnalité de √2
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On suppose que $\sqrt{ 2 } \in \mathbb{Q}$
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Alors, il existe $p, q \in \mathbb{N}$ tels que $\begin{cases} p \neq 0 & (0)\\ \operatorname{pgcd}(p, q) = 1 \qquad (p \text{ et } q \text{ sont premiers entre eux}) & (1)\\ \sqrt{ 2 } = \dfrac{q}{p} &(2)\end{cases}$
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$$\begin{align}
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(2) &\implies 2 = \frac{q^{2}}{p^{2}}\\
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&\implies q^{2} = 2p^{2} \\
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&\implies q^{2} \text{ est pair}\\
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&\implies q \text{ est pair} & \tiny\text{en effet, si } q = 2n+1, \text{ alors } q^{2} = (2n+1)^{2} = 4n^{2}+4n+1 \text{ est impair}\\
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\end{align}$$
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Donc, $q = 2q'$ pour un certain $q' \in \mathbb{N}$,
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et donc aussi $q^{2} = 4q'^{2}$
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D'où il suit que :
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$$\begin{align}
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4q'^{2} = 2p^{2} &\implies p^{2} = 2q'^{2}\\
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&\implies p^{2} \text{ est pair}\\
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&\implies p \text{ est pair}\\
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&\implies \operatorname{pgcd}(p, q) \geq 2
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\end{align}$$
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ce qui contredit le $(1)$
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> [!info] Supposition cachée
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> Cette démonstration suppose que toute fraction est réductible à une fraction irréductible.
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> Autrement dit, on a identifié $\mathbb{Q}$ à l'ensemble des fraction réduites.
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> Cela appelle éventuellement à une démonstration supplémentaire selon la définition de $\mathbb{Q}$ que l'on aura adoptée
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