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  - irrationnalité de √2
  - démonstration irrationnalité de √2
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On suppose que $\sqrt{ 2 } \in \mathbb{Q}$
Alors, il existe $p, q \in \mathbb{N}$ tels que $\begin{cases} p \neq 0 & (0)\\ \operatorname{pgcd}(p, q) = 1 \qquad (p \text{ et } q \text{ sont premiers entre eux}) & (1)\\ \sqrt{ 2 } = \dfrac{q}{p} &(2)\end{cases}$
$$\begin{align}
(2) &\implies 2 = \frac{q^{2}}{p^{2}}\\
&\implies q^{2} = 2p^{2} \\
&\implies q^{2} \text{ est pair}\\
&\implies q \text{ est pair} & \tiny\text{en effet, si } q = 2n+1, \text{ alors } q^{2} = (2n+1)^{2} = 4n^{2}+4n+1 \text{ est impair}\\
\end{align}$$

Donc, $q = 2q'$ pour un certain $q' \in \mathbb{N}$,
et donc aussi $q^{2} = 4q'^{2}$
D'où il suit que :
$$\begin{align}
4q'^{2} = 2p^{2} &\implies  p^{2} = 2q'^{2}\\
&\implies p^{2} \text{ est pair}\\
&\implies p \text{ est pair}\\
&\implies \operatorname{pgcd}(p, q) \geq 2
\end{align}$$
ce qui contredit le $(1)$

> [!info] Supposition cachée
> Cette démonstration suppose que toute fraction est réductible à une fraction irréductible.
> Autrement dit, on a identifié $\mathbb{Q}$ à l'ensemble des fraction réduites.
> Cela appelle éventuellement à une démonstration supplémentaire selon la définition de $\mathbb{Q}$ que l'on aura adoptée