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On suppose que \sqrt{ 2 } \in \mathbb{Q}
Alors, il existe p, q \in \mathbb{N} tels que \begin{cases} p \neq 0 & (0)\\ \operatorname{pgcd}(p, q) = 1 \qquad (p \text{ et } q \text{ sont premiers entre eux}) & (1)\\ \sqrt{ 2 } = \dfrac{q}{p} &(2)\end{cases}
$$\begin{align}
(2) &\implies 2 = \frac{q^{2}}{p^{2}}\
&\implies q^{2} = 2p^{2} \
&\implies q^{2} \text{ est pair}\
&\implies q \text{ est pair} & \tiny\text{en effet, si } q = 2n+1, \text{ alors } q^{2} = (2n+1)^{2} = 4n^{2}+4n+1 \text{ est impair}\
\end{align}$$
Donc, q = 2q' pour un certain q' \in \mathbb{N},
et donc aussi q^{2} = 4q'^{2}
D'où il suit que :
$$\begin{align}
4q'^{2} = 2p^{2} &\implies p^{2} = 2q'^{2}\
&\implies p^{2} \text{ est pair}\
&\implies p \text{ est pair}\
&\implies \operatorname{pgcd}(p, q) \geq 2
\end{align}$$
ce qui contredit le (1)
[!info] Supposition cachée Cette démonstration suppose que toute fraction est réductible à une fraction irréductible. Autrement dit, on a identifié
\mathbb{Q}à l'ensemble des fraction réduites. Cela appelle éventuellement à une démonstration supplémentaire selon la définition de\mathbb{Q}que l'on aura adoptée