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BC-list-note-field: down
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up: "[[cours L3]]"
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tags: "#s/maths/analyse"
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# 1 - [[cours L3.intégration|tribus]]
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## 1.1 - Rappels
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- [[ensemble des parties d'un ensemble]]
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- [[ensemble infini dénombrable|ensembles dénombrables]]
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- [[ensemble infini non dénombrable|ensembles non dénombrables]]
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## 1.2 - opérations sur les ensembles
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- [[ensemble|ensembles]]
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- [[image réciproque d'un ensemble]]
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> [!example]- Exemple
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>
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> $\begin{align} f :& \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\ &x \mapsto x^{2} \end{align} \quad A_1=[0;1] \quad A_2=[-1; 1] \quad B=[0; 4[$
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>
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> $f(A_1) = [0; 1] \quad f(A_2) = [0; 1]$
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> $f^{-1}(A_1) = [-1; 1] \quad f^{-1}(A_2) = [0; 1] \quad f^{-1}(B)=]-2; 2[$
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## 1.3 - Définition et premières propriétés
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- [[tribu]]
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- [[tribu engendrée par un ensemble|tribu engendrée σ(ℰ)]]
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- [[tribu image réciproque|tribu image réciproque f⁻¹(𝒜)]]
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- [[tribu borélienne]]
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- [[espace mesurable]]
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- [[fonction mesurable]]
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# 2 - mesures positives
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On s'intéresse uniquement aux mesures **positives**.
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On ne parlera donc jamais de mesures négatives, et on ne précisera pas que les mesures que l'on considère sont toujours positives.
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## 2.1 - Définitions et propositions élémentaires
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- [[mesure positive d'une application|mesure positive]]
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## 2.2 - Mesures discrètes
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```breadcrumbs
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type: tree
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collapse: false
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mermaid-direction: LR
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mermaid-renderer: elk
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field-groups: [downs]
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depth: [0, 3]
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start-note: "mesure positive d'une application.md"
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```
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## 2.3 - Mesure de Lebesgue sur $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$
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- [[mesure de Lebesgue]]
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## 2.4 - exemples importants de tribus et de mesures
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- [[tribu trace]]
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# 3 - fonctions mesurables
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- [[fonction mesurable]]
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- [[intégrale de lebesgue]]
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- [[fonction intégrable]]
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- [[théorème de convergence monotone des intégrales|théorème de convergence monotone]]
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# 4 - Exemples de mesures discrètes
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Soit $(E, \mathcal{A})$ un espace mesurable
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Soit $K \subset \mathbb{N}^{*}$
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Soient $(a_{k}) \in E^{K}$ et $(\alpha _{k}) \in E^{K}$ deux familles d'éléments de $E$
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$\mu = \sum\limits_{k\in K} \alpha _{k}\delta _{a_{k}}$ est une mesure
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(on rappelle que $\delta$ est la [[mesure de Dirac]])
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Soit $f : (E, \mathcal{A}) \to (\mathbb{R}, \mathcal{B}(R))$
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Si $f$ est [[fonction mesurable|mesurable]] à valeurs dans $\overline{\mathbb{R}}^{+}$, on a :
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$\boxed{\displaystyle \int_{E} f \, d\mu = \sum\limits_{k \in K} \alpha _{k}f(a_{k})}\qquad (*)$
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> [!démonstration]- Démonstration
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> 1. si $f = \mathbb{1}_{A}$ avec $A \in \mathcal{A}$
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> $\displaystyle\int_{E} f \, d\mu = \mu(A)$ par définition de l'[[intégrale de lebesgue]]
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> et donc :
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> $\displaystyle \int f \, d\mu = \sum\limits_{k \in K} \alpha _{k}\delta _{a_{k}}(A) = \sum\limits_{k \in K} \alpha _{k}\mathbb{1}_{A}(a_{k})$
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> 2. par linéarité, $(*)$ est vraie pour toutes les fonctions étagées positives (qui sont des combinaisons linéaires de [[fonction indicatrice|fonctions indicatrices]])
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> 3. par passage à la limite d'une suite de fonctions étagées (grâce au [[théorème de convergence monotone des intégrales|théorème de convergence monotone]]), on peut généraliser sur toute fonctions mesurable positive
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# 5 - Théorèmes limites et applications
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## 5.1 - Lemme de Fatou
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- [[lemme de Fatou]]
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## 5.2 - Ensembles et fonctions négligeable
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- [[inégalité de Markov]]
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- [[propriété vraie presque partout]]
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- [[fonction finie presque partout|fonction finie presque partout]]
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- [[fonction négligeable|fonction négligeable]]
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- [[fonctions égales presque partout|fonctions égales presque partout]]
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- [[suite de fonctions convergente presque partout|suite de fonctions convergente presque partout]]
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- [[théorème de convergence dominée]]
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# 6 -
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## 6.1 - ?
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## 6.2 - Transformée de Fourier d'une application
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- [[transformée de Fourier]]
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# 7 - Intégrales multiples
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## 7.1 - mesure produit
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> [!info] Rappel : [[tribu produit]]
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> $R = \{ A \times B \subset E \times F \mid A \in \mathcal{A} \wedge B \in \mathcal{B} \}$ l'ensemble des rectangles dont les bases sont resp. dans $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$
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> La [[tribu produit]] de $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$ est définie comme :
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> $\mathcal{A} \otimes \mathcal{B} = \sigma(R)$
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> C'est une tribu sur $E \times F$
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## 7.2 - Théorèmes de Tonelli et Fubini
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- [[théorème de tonelli]]
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# 8 -
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## 8.2 Cas général
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