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| BC-list-note-field | up | tags |
|---|---|---|
| down | cours L3 | #s/maths/analyse |
1 - cours L3.intégration
1.1 - Rappels
1.2 - opérations sur les ensembles
[!example]- Exemple
\begin{align} f :& \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\ &x \mapsto x^{2} \end{align} \quad A_1=[0;1] \quad A_2=[-1; 1] \quad B=[0; 4[
f(A_1) = [0; 1] \quad f(A_2) = [0; 1]f^{-1}(A_1) = [-1; 1] \quad f^{-1}(A_2) = [0; 1] \quad f^{-1}(B)=]-2; 2[
1.3 - Définition et premières propriétés
2 - mesures positives
On s'intéresse uniquement aux mesures positives. On ne parlera donc jamais de mesures négatives, et on ne précisera pas que les mesures que l'on considère sont toujours positives.
2.1 - Définitions et propositions élémentaires
2.2 - Mesures discrètes
type: tree
collapse: false
mermaid-direction: LR
mermaid-renderer: elk
field-groups: [downs]
depth: [0, 3]
start-note: "mesure positive d'une application.md"
2.3 - Mesure de Lebesgue sur (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))
2.4 - exemples importants de tribus et de mesures
3 - fonctions mesurables
4 - Exemples de mesures discrètes
Soit (E, \mathcal{A}) un espace mesurable
Soit K \subset \mathbb{N}^{*}
Soient (a_{k}) \in E^{K} et (\alpha _{k}) \in E^{K} deux familles d'éléments de E
\mu = \sum\limits_{k\in K} \alpha _{k}\delta _{a_{k}} est une mesure
(on rappelle que \delta est la mesure de Dirac)
Soit f : (E, \mathcal{A}) \to (\mathbb{R}, \mathcal{B}(R))
Si f est fonction mesurable à valeurs dans \overline{\mathbb{R}}^{+}, on a :
\boxed{\displaystyle \int_{E} f \, d\mu = \sum\limits_{k \in K} \alpha _{k}f(a_{k})}\qquad (*)
[!démonstration]- Démonstration
- si
f = \mathbb{1}_{A}avecA \in \mathcal{A}\displaystyle\int_{E} f \, d\mu = \mu(A)par définition de l'intégrale de lebesgue et donc :\displaystyle \int f \, d\mu = \sum\limits_{k \in K} \alpha _{k}\delta _{a_{k}}(A) = \sum\limits_{k \in K} \alpha _{k}\mathbb{1}_{A}(a_{k})- par linéarité,
(*)est vraie pour toutes les fonctions étagées positives (qui sont des combinaisons linéaires de fonction indicatrice)- par passage à la limite d'une suite de fonctions étagées (grâce au théorème de convergence monotone des intégrales), on peut généraliser sur toute fonctions mesurable positive
5 - Théorèmes limites et applications
5.1 - Lemme de Fatou
5.2 - Ensembles et fonctions négligeable
6 -
6.1 - ?
6.2 - Transformée de Fourier d'une application
7 - Intégrales multiples
7.1 - mesure produit
[!info] Rappel : tribu produit
R = \{ A \times B \subset E \times F \mid A \in \mathcal{A} \wedge B \in \mathcal{B} \}l'ensemble des rectangles dont les bases sont resp. dans\mathcal{A}et\mathcal{B}La tribu produit de\mathcal{A}et\mathcal{B}est définie comme :\mathcal{A} \otimes \mathcal{B} = \sigma(R)C'est une tribu surE \times F