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BC-list-note-field: down
up: "[[cours L3]]"
tags: "#s/maths/analyse"
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# 1 - [[cours L3.intégration|tribus]]
## 1.1 - Rappels
- [[ensemble des parties d'un ensemble]]
- [[ensemble infini dénombrable|ensembles dénombrables]] 
 - [[ensemble infini non dénombrable|ensembles non dénombrables]] 

## 1.2 - opérations sur les ensembles
- [[ensemble|ensembles]]
- [[image réciproque d'un ensemble]]

> [!example]- Exemple
> 
> $\begin{align} f :& \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\ &x \mapsto x^{2} \end{align} \quad A_1=[0;1] \quad A_2=[-1; 1] \quad B=[0; 4[$
> 
> $f(A_1) = [0; 1] \quad f(A_2) = [0; 1]$
> $f^{-1}(A_1) = [-1; 1] \quad f^{-1}(A_2) = [0; 1] \quad f^{-1}(B)=]-2; 2[$


## 1.3 - Définition et premières propriétés



- [[tribu]]
    - [[tribu engendrée par un ensemble|tribu engendrée σ(ℰ)]]
    - [[tribu image réciproque|tribu image réciproque f⁻¹(𝒜)]]
    - [[tribu borélienne]]
- [[espace mesurable]]
- [[fonction mesurable]]

# 2 - mesures positives
On s'intéresse uniquement aux mesures **positives**.
On ne parlera donc jamais de mesures négatives, et on ne précisera pas que les mesures que l'on considère sont toujours positives.

## 2.1 - Définitions et propositions élémentaires

- [[mesure positive d'une application|mesure positive]]

## 2.2 - Mesures discrètes
```breadcrumbs
type: tree
collapse: false
mermaid-direction: LR
mermaid-renderer: elk
field-groups: [downs]
depth: [0, 3]
start-note: "mesure positive d'une application.md"
```


## 2.3 - Mesure de Lebesgue sur $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$
- [[mesure de Lebesgue]]


## 2.4 - exemples importants de tribus et de mesures

- [[tribu trace]]

# 3 - fonctions mesurables

- [[fonction mesurable]]
     - [[intégrale de lebesgue]]
     - [[fonction intégrable]]
     - [[théorème de convergence monotone des intégrales|théorème de convergence monotone]]

# 4 - Exemples de mesures discrètes

Soit $(E, \mathcal{A})$ un espace mesurable
Soit $K \subset \mathbb{N}^{*}$
Soient $(a_{k}) \in E^{K}$ et $(\alpha _{k}) \in E^{K}$ deux familles d'éléments de $E$
$\mu = \sum\limits_{k\in K} \alpha _{k}\delta _{a_{k}}$ est une mesure
(on rappelle que $\delta$ est la [[mesure de Dirac]])
Soit $f : (E, \mathcal{A}) \to (\mathbb{R}, \mathcal{B}(R))$
Si $f$ est [[fonction mesurable|mesurable]] à valeurs dans $\overline{\mathbb{R}}^{+}$, on a :
$\boxed{\displaystyle \int_{E} f \, d\mu = \sum\limits_{k \in K} \alpha _{k}f(a_{k})}\qquad (*)$ 

> [!démonstration]- Démonstration
> 1. si $f = \mathbb{1}_{A}$ avec $A \in \mathcal{A}$
> $\displaystyle\int_{E} f \, d\mu = \mu(A)$ par définition de l'[[intégrale de lebesgue]]
> et donc :
> $\displaystyle \int f \, d\mu = \sum\limits_{k \in K} \alpha _{k}\delta _{a_{k}}(A) = \sum\limits_{k \in K} \alpha _{k}\mathbb{1}_{A}(a_{k})$
> 2. par linéarité, $(*)$ est vraie pour toutes les fonctions étagées positives (qui sont des combinaisons linéaires de [[fonction indicatrice|fonctions indicatrices]])
> 3. par passage à la limite d'une suite de fonctions étagées (grâce au [[théorème de convergence monotone des intégrales|théorème de convergence monotone]]), on peut généraliser sur toute fonctions mesurable positive

# 5 - Théorèmes limites et applications

## 5.1 - Lemme de Fatou

- [[lemme de Fatou]]

## 5.2 - Ensembles et fonctions négligeable
- [[inégalité de Markov]]


- [[propriété vraie presque partout]]
    - [[fonction finie presque partout|fonction finie presque partout]]
    - [[fonction négligeable|fonction négligeable]]
    - [[fonctions égales presque partout|fonctions égales presque partout]]
    - [[suite de fonctions convergente presque partout|suite de fonctions convergente presque partout]]
- [[théorème de convergence dominée]]

# 6 - 

## 6.1 - ?
## 6.2 - Transformée de Fourier d'une application

- [[transformée de Fourier]]



# 7 - Intégrales multiples

## 7.1 - mesure produit



> [!info] Rappel : [[tribu produit]]
> $R = \{  A \times B \subset E \times F \mid A \in \mathcal{A} \wedge B \in \mathcal{B} \}$ l'ensemble des rectangles dont les bases sont resp. dans $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$
> La [[tribu produit]] de $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$ est définie comme :
> $\mathcal{A} \otimes \mathcal{B} = \sigma(R)$
> C'est une tribu sur $E \times F$

## 7.2 - Théorèmes de Tonelli et Fubini

- [[théorème de tonelli]]

# 8 -

## 8.2 Cas général