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@@ -631,7 +631,7 @@
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"prevs"
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],
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"lock_view": false,
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"lock_path": "S2 LOGOS.md"
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"lock_path": "groupe.md"
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"tree": {
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@@ -7,12 +7,5 @@ tags: "#s/maths/algèbre"
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On veut montrer l'unicité de l'élément neutre d'un groupe.
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Soit $(G, *)$ un [[groupe]].
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Soient $e, e' \in G^{2}$ deux éléments neutres de ce groupe
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On a :
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- $e * e' = e'$ car $e$ est un élément neutre
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- $e*e' = e$ car $e'$ est un élément neutre
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Donc $e = e'$ par [[relation transitive|transitivité]] de l'égalité.
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On sait donc qu'il ne peut pas y avoir deux éléments neutres distincs.
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groupe.md
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groupe.md
@@ -9,26 +9,25 @@ sr-interval: 365
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up::[[structure algébrique]]
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#s/maths/algèbre
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> [!definition] groupe
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> [!definition] [[groupe]]
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> Un ensemble $G$ muni d'une [[loi de composition interne]] $*$ est un _groupe_ ssi :
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> - La loi $*$ est [[associativité|associative]]
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> - $G$ possède un [[élément neutre]] pour $*$
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||||
> - Tout élément de $G$ possède un [[éléments inversibles|inverse]] par $*$
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^definition
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> [!definition] groupe
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> [!definition] [[groupe]] - définition formelle
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> Un groupe est la donnée d'un ensemble non vide $G$ et d'une [[loi de composition interne]] $*$ tels que :
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> - $*$ est [[associativité|associative]]
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> - $\forall (a, b, c) \in G^{3}, \quad a*(b*c) = (a*b)*c = a*b*c$
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> - $G$ admet un [[élément neutre]] pour $*$
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> - $\exists e \in G, \quad \forall g \in G, \quad e*g=g*e=g$
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||||
> - on montre qu'il est unique
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||||
> - on montre qu'il est [[groupe#^unicite-element-neutre|unique]]
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||||
> - tout élément de $G$ possède un inverse pour $*$
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> - $\forall g \in G, \quad \exists h \in G, \quad g*h = h*g = e$ (l'élément neutre)
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||||
> - on montre qu'il est unique
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||||
> - on montre qu'il est [[groupe#^unicite-inverse|unique]]
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^definition-formelle
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[[classes sociales|classe]]`
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```breadcrumbs
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title: "Sous-notes"
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type: tree
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@@ -39,31 +38,81 @@ depth: [0, 0]
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```
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# Propriétés
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- Un groupe n'est jamais vide
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- car il ne pourrait pas posséder d'élément neutre
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- Il y a un **unique** élément neutre, que l'on note $e_{G}$
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- Chaque élément possède un **unique** [[éléments inversibles|inverse]]
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||||
- l'inverse de $g$ est noté $g^{-1}$
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> [!proposition]+ Un groupe n'est jamais vide
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> Un groupe n'est jamais vide
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> - dem En effet, s'il était vide, il ne pourrait pas posséder d'élément neutre
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||||
- Si $a$ et $b$ commutent, alors $a^{-1}$ et $b^{-1}$ commutent aussi (c.a.d. $a * b = b*a \implies a^{-1} * b^{-1} = b^{-1}*a^{-1}$)
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||||
- Les équivalences suivantes sont véfifiées :
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||||
- $a*x = a*y \iff x=y$
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||||
- $x*a = y*a \iff x = y$
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||||
- $a*x=b \iff (a^{-1}*a)*x=a^{-1}*b \iff x=a^{-1}*b$
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||||
- $x*a=b \iff x=b*a^{-1}$
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||||
- L'itéré $n$-ème d'un élément s'écrie : $a^{*n}$ ou $a^n$
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||||
- On pose $a^{*0}=e$
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||||
- On note $(a^{-1})^{*n} = a^{-n}, (n\in\mathbb N)$
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||||
- Alors: $(a^{-1})^{*n} = (a^{*n})^{-1}$
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||||
> [!proposition]+ Unicité de l'élément neutre
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||||
> Soit $(G, *)$ un [[groupe]].
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> L'élément neutre $e \in G$ est unique (il n'y a pas d'autre élément respectant les propriétés de l'élément neutre)
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||||
> > [!démonstration]- Démonstration
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||||
> > Soient $e, e' \in G^{2}$ deux éléments neutres de ce groupe
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||||
> > On a :
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||||
> > - $e * e' = e'$ car $e$ est un élément neutre
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||||
> > - $e*e' = e$ car $e'$ est un élément neutre
|
||||
> > Donc $e = e'$ par [[relation transitive|transitivité]] de l'égalité.
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||||
> > On sait donc qu'il ne peut pas y avoir deux éléments neutres distincs.
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||||
^unicite-element-neutre
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> [!info] Inverse d'un produit d'éléments
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> [!proposition]+ Unicité de l'inverse
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> L'inverse d'un élément est toujours unique.
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> Autrement dit : $\forall x \in G,\quad \exists ! y \in G,\quad x*y = y*x = e$
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||||
> > [!démonstration]- Démonstration
|
||||
> > On suppose qu'un élément $a\in E$ possède deux inverses $a'$ et $a''$ pour la loi $*$. (On suppose que $e$ possède un élément neutre $e$).
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||||
> > Alors :
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> > - $a*a' = e = a'*a$
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||||
> > - $a*a'' = e = a''*a$
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||||
> > - $a''*(a*a') = (a''*a)*a'$
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||||
> > - $a''*e = e*a'$, soit $a''=a$
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||||
> > Il n'est dont pas possible qu'un élément possède deux inverses.
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> >
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> > Donc tout élément de $E$ possède au maximum un inverse
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^unicite-inverse
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> [!proposition]+ Distributivité de l'inverse
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> Soient $x_1, x_2 \in G$
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> on a : $(x_1 * x_2)^{-1} = x_2^{-1}*x_1^{-1}$
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> > [!démonstration]- Démonstration
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||||
> > On suppose que deux éléments $x_1$ et $x_2$ dans $E$ possèdent chacun un inverse. La loi $*$ est supposée associative.
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||||
> > $x_1*x_1^{-1} = e = x_1^{-1} * x_1$
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||||
> > $x_2*x_2^{-1} = e = x_2^{-1} * x_2$
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||||
> > $\begin{aligned}(x_1*x_2)*(x_2^{-1}*x_1^{-1}) &= x_1 * (x_2*x_2^{-1})*x_1{-1}\\ &= x_1*(e*x_1^{-1})\\ &= x_1*c_1^{-1}\\ &= e\end{aligned}$
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> >
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> >
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> > Donc $x_2^{-1} * x_1^{-1}$ est un inverse à droite de $x_1*x_2$.
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> >
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> > $\begin{aligned}(x_2^{-1}*x_1^{-1})*(x_1*x_2) &= x_2^{-1}*(x_1^{-1}*x_1)*x_2\\ &= x_2^{-1}*x_2\\ &= e\end{aligned}$
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> > ainsi on obtient bien : $(x_1*x_2)^{-1} = x_2^{-1}*x_1^{-1}$
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^distributivite-inverse
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> [!proposition]+ Propagation de la commutativité sur les inverses
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> Soient $a, b, \in G$
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> Si $a$ et $b$ commutent (i.e. si $a*b = b*a$) alors $a^{-1}$ et $b^{-1}$ commutent aussi (i.e. $a^{-1}*b^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$)
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||||
> [!proposition]+ Quelques propriétés
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> Soient $a, x, y \in G$
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||||
> - Les équivalences suivantes sont véfifiées :
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> - $a*x = a*y \iff x=y$
|
||||
> - $x*a = y*a \iff x = y$
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||||
> - $a*x=b \iff (a^{-1}*a)*x=a^{-1}*b \iff x=a^{-1}*b$
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||||
> - $x*a=b \iff x=b*a^{-1}$
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> [!definition] Itéré d'un élément
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> L'itéré $n$-ème d'un élément s'écrit : $a^{*n}$ (ou $a^n$ par abus de langage quand on assimile $*$ à la multiplication)
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> Il est défini comme suit :
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> $\begin{cases} a^{*0} = e \\a^{*n+1} = a*a^{*n} \end{cases}$
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> - i On note $(a^{-1})^{*n} = a^{-n}, (n\in\mathbb N)$
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> - on vérifie aisément que $(a^{-1})^{*n} = (a^{*n})^{-1}$ par [[groupe#^distributivite-inverse|distributivité de l'inverse]]
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> [!proposition] Inverse d'un produit d'éléments
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> - pour $g_1, g_2, \dots, g_{n-1}, g_{n} \in G$, on a $(g_1*g_2*\cdots*g_{n-1}*g_{n})^{-1} = g_{n}^{-1}*g_{n-1}^{-1}*\cdots*g_2^{-1}*g_1^{-1}$
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> - [!] il faut bien inverser l'ordre des éléments
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> - ! il faut bien inverser l'ordre des éléments
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>
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > Par réccurence sur $n \in \mathbb{N}^{*}$
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> > 1. Initialisation
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> > - **Initialisation**
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> > On veut monter que $g_1^{-1} = g_1^{-1}$. C'est évident.
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> > 2. Hérédité
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> > - **Hérédité**
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> > On suppose la propriété vraie pour un $n-1 \in \mathbb{N}^{*}$
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> > Pour $g_1, \dots, g_{n} \in G$, on a :
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> > $$\begin{align}
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@@ -74,5 +123,3 @@ depth: [0, 0]
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> > \end{align}
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> > $$
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# Exemples
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@@ -11,17 +11,6 @@ title::"$e$ tel que $\forall x \in E, x*e = e*x = x$"
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- S'il existe $e\in E$ tel que $\forall a\in E, e*a=a$, on dit que $e$ est _élément neutre à gauche_
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# Propriétés
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- Un élément neutre est toujours unique ([[démonstration un groupe possède un unique élément neutre|démonstration]])
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## Démonstration
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On suppose que $E$ possède deux éléments neutres $e$ et $e'$ pour la [[loi de composition interne]] $*$
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Alors:
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- $e*e' = e$ car $e'$ est élément neutre à droite.
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- $e*e'=e'$ car $e$ est élément neutre à gauche.
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Donc $e = e'$.
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Conclusion: l'élément neutre, s'il existe, est unique.
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- Dans un [[groupe]], l'élément neutre est unique [[groupe#^unicite-element-neutre|(démonstration ici)]]
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@@ -1,13 +1,10 @@
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aliases:
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- symétrique
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- symétrisable
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- symétrisables
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- inverse
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up: "[[structure algébrique]]"
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tags:
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- "#s/maths/algèbre"
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up::[[structure algébrique]]
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title::"$x$ est symétrisable si $\exists x' \in E, x*x' = x'*x = e$ l'[[élément neutre]]"
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#s/maths/algèbre
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> [!definition] éléments inversibles
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> Soit $E$ in ensemble muni d'une [[loi de composition interne]] $*$, et contenant un [[élément neutre|élément neutre]] $e$.
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@@ -32,32 +29,3 @@ title::"$x$ est symétrisable si $\exists x' \in E, x*x' = x'*x = e$ l'[[éléme
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> Si la loi est notée additivement, le symétrique de $a$ sera noté $-a$
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> Si la loi est notée multiplicativement, le symétrique de $a$ sera noté $a^{-1}$
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# Propriété
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Si un élément $a\in E$ possède un symétrique $a'$, ce symétrique est unique.
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## Démonstration
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On suppose qu'un élément $a\in E$ possède deux symétriques $a'$ et $a''$ pour la loi $*$. (On suppose que $e$ possède un élément neutre $e$).
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Alors :
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- $a*a' = e = a'*a$
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- $a*a'' = e = a''*a$
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- $a''*(a*a') = (a''*a)*a'$
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- $a''*e = e*a'$, soit $a''=a$
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Il n'est dont pas possible qu'un élément possède deux symétriques.
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Donc tout élément de $E$ possède au maximum un symétrique
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# Propriété
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On suppose que deux éléments $x_1$ et $x_2$ dans $E$ possèdent chacun un symétrique. La loi $*$ est supposée associative.
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$x_1*x_1^{-1} = e = x_1^{-1} * x_1$
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$x_2*x_2^{-1} = e = x_2^{-1} * x_2$
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$\begin{aligned}(x_1*x_2)*(x_2^{-1}*x_1^{-1}) &= x_1 * (x_2*x_2^{-1})*x_1{-1}\\ &= x_1*(e*x_1^{-1})\\ &= x_1*c_1^{-1}\\ &= e\end{aligned}$
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Donc $x_2^{-1} * x_1{-1}$ est un symétrique à droite de $x_1*x_2$.
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$\begin{aligned}(x_2^{-1}*x_1^{-1})*(x_1*x_2) &= x_2^{-1}*(x_1^{-1}*x_1)*x_2\\ &= x_2^{-1}*x_2\\ &= e\end{aligned}$
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$(x_1*x_2)^{-1} = x_2^{-1}*x_1^{-1}$
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(La symétrisation est distributive sur sa loi)
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Reference in New Issue
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