From 9501e97ab8601e7f97caa452377cd1f4ede28b45 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: oskar Date: Wed, 25 Mar 2026 22:49:06 +0100 Subject: [PATCH] device-56.home 2026-3-25:22:49:6 --- .obsidian/plugins/breadcrumbs/data.json | 2 +- ... groupe possède un unique élément neutre.md | 7 -- groupe.md | 99 ++++++++++++++----- élément neutre.md | 15 +-- éléments inversibles.md | 38 +------ 5 files changed, 79 insertions(+), 82 deletions(-) diff --git a/.obsidian/plugins/breadcrumbs/data.json b/.obsidian/plugins/breadcrumbs/data.json index 78bfc19b..f6f8fe01 100644 --- a/.obsidian/plugins/breadcrumbs/data.json +++ b/.obsidian/plugins/breadcrumbs/data.json @@ -631,7 +631,7 @@ "prevs" ], "lock_view": false, - "lock_path": "S2 LOGOS.md" + "lock_path": "groupe.md" }, "tree": { "collapse": false, diff --git a/démonstration un groupe possède un unique élément neutre.md b/démonstration un groupe possède un unique élément neutre.md index e58832f1..0a97b874 100644 --- a/démonstration un groupe possède un unique élément neutre.md +++ b/démonstration un groupe possède un unique élément neutre.md @@ -7,12 +7,5 @@ tags: "#s/maths/algèbre" On veut montrer l'unicité de l'élément neutre d'un groupe. -Soit $(G, *)$ un [[groupe]]. -Soient $e, e' \in G^{2}$ deux éléments neutres de ce groupe -On a : -- $e * e' = e'$ car $e$ est un élément neutre -- $e*e' = e$ car $e'$ est un élément neutre -Donc $e = e'$ par [[relation transitive|transitivité]] de l'égalité. -On sait donc qu'il ne peut pas y avoir deux éléments neutres distincs. diff --git a/groupe.md b/groupe.md index 6a10600b..f9db1d3f 100644 --- a/groupe.md +++ b/groupe.md @@ -9,26 +9,25 @@ sr-interval: 365 up::[[structure algébrique]] #s/maths/algèbre -> [!definition] groupe +> [!definition] [[groupe]] > Un ensemble $G$ muni d'une [[loi de composition interne]] $*$ est un _groupe_ ssi : > - La loi $*$ est [[associativité|associative]] > - $G$ possède un [[élément neutre]] pour $*$ > - Tout élément de $G$ possède un [[éléments inversibles|inverse]] par $*$ ^definition -> [!definition] groupe +> [!definition] [[groupe]] - définition formelle > Un groupe est la donnée d'un ensemble non vide $G$ et d'une [[loi de composition interne]] $*$ tels que : > - $*$ est [[associativité|associative]] > - $\forall (a, b, c) \in G^{3}, \quad a*(b*c) = (a*b)*c = a*b*c$ > - $G$ admet un [[élément neutre]] pour $*$ > - $\exists e \in G, \quad \forall g \in G, \quad e*g=g*e=g$ -> - on montre qu'il est unique +> - on montre qu'il est [[groupe#^unicite-element-neutre|unique]] > - tout élément de $G$ possède un inverse pour $*$ > - $\forall g \in G, \quad \exists h \in G, \quad g*h = h*g = e$ (l'élément neutre) -> - on montre qu'il est unique +> - on montre qu'il est [[groupe#^unicite-inverse|unique]] ^definition-formelle -[[classes sociales|classe]]` ```breadcrumbs title: "Sous-notes" type: tree @@ -39,31 +38,81 @@ depth: [0, 0] ``` # Propriétés -- Un groupe n'est jamais vide - - car il ne pourrait pas posséder d'élément neutre -- Il y a un **unique** élément neutre, que l'on note $e_{G}$ -- Chaque élément possède un **unique** [[éléments inversibles|inverse]] - - l'inverse de $g$ est noté $g^{-1}$ +> [!proposition]+ Un groupe n'est jamais vide +> Un groupe n'est jamais vide +> - dem En effet, s'il était vide, il ne pourrait pas posséder d'élément neutre -- Si $a$ et $b$ commutent, alors $a^{-1}$ et $b^{-1}$ commutent aussi (c.a.d. $a * b = b*a \implies a^{-1} * b^{-1} = b^{-1}*a^{-1}$) -- Les équivalences suivantes sont véfifiées : - - $a*x = a*y \iff x=y$ - - $x*a = y*a \iff x = y$ - - $a*x=b \iff (a^{-1}*a)*x=a^{-1}*b \iff x=a^{-1}*b$ - - $x*a=b \iff x=b*a^{-1}$ -- L'itéré $n$-ème d'un élément s'écrie : $a^{*n}$ ou $a^n$ - - On pose $a^{*0}=e$ - - On note $(a^{-1})^{*n} = a^{-n}, (n\in\mathbb N)$ - - Alors: $(a^{-1})^{*n} = (a^{*n})^{-1}$ +> [!proposition]+ Unicité de l'élément neutre +> Soit $(G, *)$ un [[groupe]]. +> L'élément neutre $e \in G$ est unique (il n'y a pas d'autre élément respectant les propriétés de l'élément neutre) +> > [!démonstration]- Démonstration +> > Soient $e, e' \in G^{2}$ deux éléments neutres de ce groupe +> > On a : +> > - $e * e' = e'$ car $e$ est un élément neutre +> > - $e*e' = e$ car $e'$ est un élément neutre +> > Donc $e = e'$ par [[relation transitive|transitivité]] de l'égalité. +> > On sait donc qu'il ne peut pas y avoir deux éléments neutres distincs. +^unicite-element-neutre -> [!info] Inverse d'un produit d'éléments +> [!proposition]+ Unicité de l'inverse +> L'inverse d'un élément est toujours unique. +> Autrement dit : $\forall x \in G,\quad \exists ! y \in G,\quad x*y = y*x = e$ +> > [!démonstration]- Démonstration +> > On suppose qu'un élément $a\in E$ possède deux inverses $a'$ et $a''$ pour la loi $*$. (On suppose que $e$ possède un élément neutre $e$). +> > Alors : +> > - $a*a' = e = a'*a$ +> > - $a*a'' = e = a''*a$ +> > - $a''*(a*a') = (a''*a)*a'$ +> > - $a''*e = e*a'$, soit $a''=a$ +> > Il n'est dont pas possible qu'un élément possède deux inverses. +> > +> > Donc tout élément de $E$ possède au maximum un inverse +^unicite-inverse + +> [!proposition]+ Distributivité de l'inverse +> Soient $x_1, x_2 \in G$ +> on a : $(x_1 * x_2)^{-1} = x_2^{-1}*x_1^{-1}$ +> > [!démonstration]- Démonstration +> > On suppose que deux éléments $x_1$ et $x_2$ dans $E$ possèdent chacun un inverse. La loi $*$ est supposée associative. +> > $x_1*x_1^{-1} = e = x_1^{-1} * x_1$ +> > $x_2*x_2^{-1} = e = x_2^{-1} * x_2$ +> > $\begin{aligned}(x_1*x_2)*(x_2^{-1}*x_1^{-1}) &= x_1 * (x_2*x_2^{-1})*x_1{-1}\\ &= x_1*(e*x_1^{-1})\\ &= x_1*c_1^{-1}\\ &= e\end{aligned}$ +> > +> > +> > Donc $x_2^{-1} * x_1^{-1}$ est un inverse à droite de $x_1*x_2$. +> > +> > $\begin{aligned}(x_2^{-1}*x_1^{-1})*(x_1*x_2) &= x_2^{-1}*(x_1^{-1}*x_1)*x_2\\ &= x_2^{-1}*x_2\\ &= e\end{aligned}$ +> > ainsi on obtient bien : $(x_1*x_2)^{-1} = x_2^{-1}*x_1^{-1}$ +^distributivite-inverse + +> [!proposition]+ Propagation de la commutativité sur les inverses +> Soient $a, b, \in G$ +> Si $a$ et $b$ commutent (i.e. si $a*b = b*a$) alors $a^{-1}$ et $b^{-1}$ commutent aussi (i.e. $a^{-1}*b^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$) + +> [!proposition]+ Quelques propriétés +> Soient $a, x, y \in G$ +> - Les équivalences suivantes sont véfifiées : +> - $a*x = a*y \iff x=y$ +> - $x*a = y*a \iff x = y$ +> - $a*x=b \iff (a^{-1}*a)*x=a^{-1}*b \iff x=a^{-1}*b$ +> - $x*a=b \iff x=b*a^{-1}$ + +> [!definition] Itéré d'un élément +> L'itéré $n$-ème d'un élément s'écrit : $a^{*n}$ (ou $a^n$ par abus de langage quand on assimile $*$ à la multiplication) +> Il est défini comme suit : +> $\begin{cases} a^{*0} = e \\a^{*n+1} = a*a^{*n} \end{cases}$ +> - i On note $(a^{-1})^{*n} = a^{-n}, (n\in\mathbb N)$ +> - on vérifie aisément que $(a^{-1})^{*n} = (a^{*n})^{-1}$ par [[groupe#^distributivite-inverse|distributivité de l'inverse]] + +> [!proposition] Inverse d'un produit d'éléments > - pour $g_1, g_2, \dots, g_{n-1}, g_{n} \in G$, on a $(g_1*g_2*\cdots*g_{n-1}*g_{n})^{-1} = g_{n}^{-1}*g_{n-1}^{-1}*\cdots*g_2^{-1}*g_1^{-1}$ -> - [!] il faut bien inverser l'ordre des éléments +> - ! il faut bien inverser l'ordre des éléments +> > > [!démonstration]- Démonstration > > Par réccurence sur $n \in \mathbb{N}^{*}$ -> > 1. Initialisation +> > - **Initialisation** > > On veut monter que $g_1^{-1} = g_1^{-1}$. C'est évident. -> > 2. Hérédité +> > - **Hérédité** > > On suppose la propriété vraie pour un $n-1 \in \mathbb{N}^{*}$ > > Pour $g_1, \dots, g_{n} \in G$, on a : > > $$\begin{align} @@ -74,5 +123,3 @@ depth: [0, 0] > > \end{align} > > $$ -# Exemples - diff --git a/élément neutre.md b/élément neutre.md index 656f5678..88597acd 100644 --- a/élément neutre.md +++ b/élément neutre.md @@ -11,17 +11,6 @@ title::"$e$ tel que $\forall x \in E, x*e = e*x = x$" - S'il existe $e\in E$ tel que $\forall a\in E, e*a=a$, on dit que $e$ est _élément neutre à gauche_ # Propriétés -- Un élément neutre est toujours unique ([[démonstration un groupe possède un unique élément neutre|démonstration]]) - -## Démonstration -On suppose que $E$ possède deux éléments neutres $e$ et $e'$ pour la [[loi de composition interne]] $*$ -Alors: -- $e*e' = e$ car $e'$ est élément neutre à droite. -- $e*e'=e'$ car $e$ est élément neutre à gauche. -Donc $e = e'$. -Conclusion: l'élément neutre, s'il existe, est unique. - - - - + - Dans un [[groupe]], l'élément neutre est unique [[groupe#^unicite-element-neutre|(démonstration ici)]] + \ No newline at end of file diff --git a/éléments inversibles.md b/éléments inversibles.md index 9045a891..ff3d5b9a 100644 --- a/éléments inversibles.md +++ b/éléments inversibles.md @@ -1,13 +1,10 @@ --- aliases: - - symétrique - - symétrisable - - symétrisables - inverse +up: "[[structure algébrique]]" +tags: + - "#s/maths/algèbre" --- -up::[[structure algébrique]] -title::"$x$ est symétrisable si $\exists x' \in E, x*x' = x'*x = e$ l'[[élément neutre]]" -#s/maths/algèbre > [!definition] éléments inversibles > Soit $E$ in ensemble muni d'une [[loi de composition interne]] $*$, et contenant un [[élément neutre|élément neutre]] $e$. @@ -32,32 +29,3 @@ title::"$x$ est symétrisable si $\exists x' \in E, x*x' = x'*x = e$ l'[[éléme > Si la loi est notée additivement, le symétrique de $a$ sera noté $-a$ > Si la loi est notée multiplicativement, le symétrique de $a$ sera noté $a^{-1}$ -# Propriété -Si un élément $a\in E$ possède un symétrique $a'$, ce symétrique est unique. - -## Démonstration -On suppose qu'un élément $a\in E$ possède deux symétriques $a'$ et $a''$ pour la loi $*$. (On suppose que $e$ possède un élément neutre $e$). -Alors : - - $a*a' = e = a'*a$ - - $a*a'' = e = a''*a$ - - $a''*(a*a') = (a''*a)*a'$ - - $a''*e = e*a'$, soit $a''=a$ -Il n'est dont pas possible qu'un élément possède deux symétriques. - -Donc tout élément de $E$ possède au maximum un symétrique - - - - -# Propriété -On suppose que deux éléments $x_1$ et $x_2$ dans $E$ possèdent chacun un symétrique. La loi $*$ est supposée associative. -$x_1*x_1^{-1} = e = x_1^{-1} * x_1$ -$x_2*x_2^{-1} = e = x_2^{-1} * x_2$ -$\begin{aligned}(x_1*x_2)*(x_2^{-1}*x_1^{-1}) &= x_1 * (x_2*x_2^{-1})*x_1{-1}\\ &= x_1*(e*x_1^{-1})\\ &= x_1*c_1^{-1}\\ &= e\end{aligned}$ - - -Donc $x_2^{-1} * x_1{-1}$ est un symétrique à droite de $x_1*x_2$. - -$\begin{aligned}(x_2^{-1}*x_1^{-1})*(x_1*x_2) &= x_2^{-1}*(x_1^{-1}*x_1)*x_2\\ &= x_2^{-1}*x_2\\ &= e\end{aligned}$ -$(x_1*x_2)^{-1} = x_2^{-1}*x_1^{-1}$ -(La symétrisation est distributive sur sa loi)