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groupe			2023-08-06	346	365

up::structure algébrique #s/maths/algèbre

[!definition] groupe Un ensemble G muni d'une loi de composition interne * est un groupe ssi :

• La loi * est associativité
• G possède un élément neutre pour *
• Tout élément de G possède un éléments inversibles par * ^definition

[!definition] groupe - définition formelle Un groupe est la donnée d'un ensemble non vide G et d'une loi de composition interne * tels que :

• * est associativité
  • \forall (a, b, c) \in G^{3}, \quad a*(b*c) = (a*b)*c = a*b*c
• G admet un élément neutre pour *
  • \exists e \in G, \quad \forall g \in G, \quad e*g=g*e=g
  • on montre qu'il est groupe#^unicite-element-neutre
• tout élément de G possède un inverse pour *
  • \forall g \in G, \quad \exists h \in G, \quad g*h = h*g = e (l'élément neutre)
  • on montre qu'il est groupe#^unicite-inverse ^definition-formelle

title: "Sous-notes"
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Propriétés

[!proposition]+ Un groupe n'est jamais vide Un groupe n'est jamais vide

• dem En effet, s'il était vide, il ne pourrait pas posséder d'élément neutre

[!proposition]+ Unicité de l'élément neutre Soit (G, *) un groupe. L'élément neutre e \in G est unique (il n'y a pas d'autre élément respectant les propriétés de l'élément neutre)

[!démonstration]- Démonstration Soient e, e' \in G^{2} deux éléments neutres de ce groupe On a :

• e * e' = e' car e est un élément neutre
• e*e' = e car e' est un élément neutre Donc e = e' par relation transitive de l'égalité. On sait donc qu'il ne peut pas y avoir deux éléments neutres distincs. ^unicite-element-neutre

[!proposition]+ Unicité de l'inverse L'inverse d'un élément est toujours unique. Autrement dit : \forall x \in G,\quad \exists ! y \in G,\quad x*y = y*x = e

[!démonstration]- Démonstration On suppose qu'un élément a\in E possède deux inverses a' et a'' pour la loi *. (On suppose que e possède un élément neutre e). Alors :

• a*a' = e = a'*a
• a*a'' = e = a''*a
• a''*(a*a') = (a''*a)*a'
• a''*e = e*a', soit a''=a Il n'est dont pas possible qu'un élément possède deux inverses.

Donc tout élément de E possède au maximum un inverse ^unicite-inverse

[!proposition]+ Distributivité de l'inverse Soient x_1, x_2 \in G on a : (x_1 * x_2)^{-1} = x_2^{-1}*x_1^{-1}

[!démonstration]- Démonstration On suppose que deux éléments x_1 et x_2 dans E possèdent chacun un inverse. La loi * est supposée associative. x_1*x_1^{-1} = e = x_1^{-1} * x_1 x_2*x_2^{-1} = e = x_2^{-1} * x_2 \begin{aligned}(x_1*x_2)*(x_2^{-1}*x_1^{-1}) &= x_1 * (x_2*x_2^{-1})*x_1{-1}\\ &= x_1*(e*x_1^{-1})\\ &= x_1*c_1^{-1}\\ &= e\end{aligned}

Donc x_2^{-1} * x_1^{-1} est un inverse à droite de x_1*x_2.

\begin{aligned}(x_2^{-1}*x_1^{-1})*(x_1*x_2) &= x_2^{-1}*(x_1^{-1}*x_1)*x_2\\ &= x_2^{-1}*x_2\\ &= e\end{aligned} ainsi on obtient bien : (x_1*x_2)^{-1} = x_2^{-1}*x_1^{-1} ^distributivite-inverse

[!proposition]+ Propagation de la commutativité sur les inverses Soient a, b, \in G Si a et b commutent (i.e. si a*b = b*a) alors a^{-1} et b^{-1} commutent aussi (i.e. a^{-1}*b^{-1}=b^{-1}*a^{-1})

[!proposition]+ Quelques propriétés Soient a, x, y \in G

• Les équivalences suivantes sont véfifiées :
  • a*x = a*y \iff x=y
  • x*a = y*a \iff x = y
  • a*x=b \iff (a^{-1}*a)*x=a^{-1}*b \iff x=a^{-1}*b
  • x*a=b \iff x=b*a^{-1}

[!definition] Itéré d'un élément L'itéré $n$-ème d'un élément s'écrit : a^{*n} (ou a^n par abus de langage quand on assimile * à la multiplication) Il est défini comme suit : \begin{cases} a^{*0} = e \\a^{*n+1} = a*a^{*n} \end{cases}

• i On note (a^{-1})^{*n} = a^{-n}, (n\in\mathbb N)
• on vérifie aisément que (a^{-1})^{*n} = (a^{*n})^{-1} par groupe#^distributivite-inverse

[!proposition] Inverse d'un produit d'éléments

• pour g_1, g_2, \dots, g_{n-1}, g_{n} \in G, on a (g_1*g_2*\cdots*g_{n-1}*g_{n})^{-1} = g_{n}^{-1}*g_{n-1}^{-1}*\cdots*g_2^{-1}*g_1^{-1}
• ! il faut bien inverser l'ordre des éléments

[!démonstration]- Démonstration Par réccurence sur n \in \mathbb{N}^{*}

• Initialisation On veut monter que g_1^{-1} = g_1^{-1}. C'est évident.
• Hérédité On suppose la propriété vraie pour un n-1 \in \mathbb{N}^{*} Pour g_1, \dots, g_{n} \in G, on a : $$\begin{align} (g_1*\cdotsg_{n})(g_{n}^{-1}\cdotsg_1^{-1}) &= g_1*\cdotsg_{n-1}\underbrace{g_{n}g_{n}^{-1}}{e{G}} * g_{n-1}^{-1} \cdotsg_1^{-1} & \text{ par associativité} \ &= (g_1\cdotsg_{n-1})e_{G}(g_{n-1}^{-1}\cdotsg_1^{-1}) \ &= (g_1\cdotsg_{n-1})(g_{n-1}^{-1}\cdotsg_1^{-1}) \ &= e_{G } & \text{par hypothèse de récurrence} \end{align}