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@@ -18,4 +18,15 @@ $$\begin{align}
 Donc, $q = 2q'$ pour un certain $q' \in \mathbb{N}$,
 et donc aussi $q^{2} = 4q'^{2}$
 D'où il suit que :
-$$\begin{align}  \end{align}$$
+$$\begin{align}
+4q'^{2} = 2p^{2} &\implies  p^{2} = 2q'^{2}\\
+&\implies p^{2} \text{ est pair}\\
+&\implies p \text{ est pair}\\
+&\implies \operatorname{pgcd}(p, q) \geq 2
+\end{align}$$
+ce qui contredit le $(1)$
+
+> [!info] Supposition cachée
+> Cette démonstration suppose que toute fraction est réductible à une fraction irréductible.
+> Autrement dit, on a identifié $\mathbb{Q}$ à l'ensemble des fraction réduites.
+> Cela appelle éventuellement à une démonstration supplémentaire selon la définition de $\mathbb{Q}$ que l'on aura adoptée