eduroam-prg-og-1-28-168.net.univ-paris-diderot.fr 2026-1-19:9:44:48

démonstration de l'irrationnalité de la racine carrée de 2.md

@@ -18,4 +18,15 @@ $$\begin{align}
 Donc, $q = 2q'$ pour un certain $q' \in \mathbb{N}$,
 et donc aussi $q^{2} = 4q'^{2}$
 D'où il suit que :
-$$\begin{align}  \end{align}$$
+$$\begin{align}
+4q'^{2} = 2p^{2} &\implies  p^{2} = 2q'^{2}\\
+&\implies p^{2} \text{ est pair}\\
+&\implies p \text{ est pair}\\
+&\implies \operatorname{pgcd}(p, q) \geq 2
+\end{align}$$
+ce qui contredit le $(1)$
+
+> [!info] Supposition cachée
+> Cette démonstration suppose que toute fraction est réductible à une fraction irréductible.
+> Autrement dit, on a identifié $\mathbb{Q}$ à l'ensemble des fraction réduites.
+> Cela appelle éventuellement à une démonstration supplémentaire selon la définition de $\mathbb{Q}$ que l'on aura adoptée

partie ouverte d'un espace métrique.md

@@ -23,8 +23,11 @@ tags: "#s/maths/algèbre"
 
 # Propriétés
 
-> [!proposition] $\emptyset$ est un fermé
-> L'ensemble vide est un fermé de tout espace métrique
+> [!proposition] $\emptyset$ est un ouvert
+> L'ensemble vide est un ouvert de tout espace métrique
+> 
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > 
 
 > [!proposition] complémentaires de fermés et d'ouverts
 > Soit $A \subset X$ une partie de $X$

voisinage.md

@@ -21,7 +21,7 @@ tags:
 > ---
 > Tout voisinage de $x$ contient $x$
 
-> [!proposition]+ 
+> [!proposition]+ Stabilité par sur-ensemble
 > Dans $(E, \mathscr{T})$, soit $x \in E$ et soit $V \subset E$
 > Toute partie de $E$ qui contient un voisinage de $x$ est un voisinage de $x$
 >