eduroam-prg-og-1-28-168.net.univ-paris-diderot.fr 2026-1-19:9:24:48

démonstration de l'irrationnalité de la racine carrée de 2.md

@@ -0,0 +1,21 @@
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+up:
+tags:
+aliases:
+  - irrationnalité de √2
+  - démonstration irrationnalité de √2
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+
+On suppose que $\sqrt{ 2 } \in \mathbb{Q}$
+Alors, il existe $p, q \in \mathbb{N}$ tels que $\begin{cases} p \neq 0 & (0)\\ \operatorname{pgcd}(p, q) = 1 \qquad (p \text{ et } q \text{ sont premiers entre eux}) & (1)\\ \sqrt{ 2 } = \dfrac{q}{p} &(2)\end{cases}$
+$$\begin{align}
+(2) &\implies 2 = \frac{q^{2}}{p^{2}}\\
+&\implies q^{2} = 2p^{2} \\
+&\implies q^{2} \text{ est pair}\\
+&\implies q \text{ est pair} & \tiny\text{en effet, si } q = 2n+1, \text{ alors } q^{2} = (2n+1)^{2} = 4n^{2}+4n+1 \text{ est impair}\\
+\end{align}$$
+
+Donc, $q = 2q'$ pour un certain $q' \in \mathbb{N}$,
+et donc aussi $q^{2} = 4q'^{2}$
+D'où il suit que :
+$$\begin{align}  \end{align}$$