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fonction d'ackermann de cori et lascar.md

@@ -115,7 +115,7 @@ aliases:
 >    >   
 ^lemme-4
 
-## Domination
+## Domination : $C_{n}$
 
 > [!definition] fonction dominant une autre
 > Soient $f \in \mathscr{F}_{1}$ et $g \in \mathscr{F}_{p}$
@@ -140,6 +140,7 @@ aliases:
 >  - Les fonction linéaires $\lambda x. kx$ où $k$ est un entier quelconque
 >      - dem $(\lambda x. kx)(x) \leq f(\sup\limits(x, k))$ 
 >  - i on utilise la notation $\overline{x}$, voir [[fonction récursive primitive#^notations|notation ̅x]]
+^fonctions-dans-C0
 
 > [!proposition]+ $\xi _{n} \in C_{n}$
 > La fonction $\xi _{n}$ appartient à $C_{n}$
@@ -192,23 +193,47 @@ aliases:
 > >    $\xi _{n}^{k+1}(x) = \xi _{n} \circ \xi _{n}^{k}(x) \underbrace{\leq \xi _{n}(\xi _{n+1}(x+k))}_{\text{par hypothèse}} \underbrace{=\xi _{n}(x+k+1)}_{\text{par définition de }\xi _{n}}$
 ^lemme-6
 
-> [!proposition]+ Lemme 7
+> [!proposition]+ Lemme 7 - Clôture par schéma de récurrence
 > Soient $g \in \mathscr{F}_{p}$ et $h \in \mathscr{F}_{p+2}$
 > Si $g$ et $h$ sont dans $C_{n}$
 > Alors la fonction $f$ [[fonction récursive primitive#^definition|définie par récurrence à partir]] de $g$ et $h$ ($f = \rho(g, h)$) appartient à $C_{n+1}$
-> > [!démonstration] Démonstration
+>  - ! Ce n'est pas $C_{n}$ mais $\displaystyle\bigcup _{n \in \mathbb{N}}C_{n}$ qui sera stable par schéma de récurrence
+> 
+> > [!démonstration]- Démonstration
 > > Ecrivons d'abord les hypothèses explicitement :
 > > On utilise la notation $\overline{x}$ pour $x_1, x_2, \dots, x_{p}$
 > > $f(\overline{x}, 0) = g(\overline{x})$
 > > $f(\overline{x}, y+1) = h(\overline{x}, y, f(\overline{x}, y))$
 > > Ensuite, comme $g, h \in C_{n}$ on a :
 > > $\exists A_{g}, A_{h}, k_{g}, k_{h},\quad \forall \overline{x}, y, z,\quad \begin{cases} g(\overline{x}) \leq \xi _{n}^{k_{g}}(\sup\limits(\overline{x}, A_{g}))\\ h(\overline{x}, y, z) \leq \xi _{n}^{k_{h}}(\sup\limits(\overline{x}, y, z, A_{h})) \end{cases}$
-> > Montrons maintenant par récurrence sur $y$ que $\forall \overline{x}, y,\quad f(\overline{x}, y) \leq \xi _{n}^{k_{g}+yk_{h}}(\sup\limits(\overline{x}, y, A_{g}, A_{h}, ))$ 
-
-
-
-# Exemples
-
+> > Montrons maintenant par récurrence sur $y$ que $\forall \overline{x}, y,\quad f(\overline{x}, y) \leq \xi _{n}^{k_{g}+yk_{h}}(\sup\limits(\overline{x}, y, A_{g}, A_{h}))$ 
+> >  - **Initialisation** $y = 0$
+> >    Pour $y=0$ on a $f(\overline{x}, y) = g(\overline{x}) \leq \underbrace{\xi _{n}^{k_{g}}(\sup\limits(\overline{x}, A_{g}))}_{\text{car } g \in C_{n}} \leq \xi _{n}^{k_{g} + \overbrace{yk_{h}}^{=0}}(\sup\limits(\overline{x}, y, A_{g}, A_{h}))$
+> >  - **Récurrence** on suppose que $f(\overline{x}, y) \leq \xi _{n}^{k_{g} +y k_{h}}(\sup\limits(\overline{x}, y, A_{g}, A_{h}))$, montrons que c'est vrai pour $y+1$
+> >    $\begin{align} f(\overline{x}, y+1) &= h(\overline{x}, y, f(\overline{x}, y))\\ &\leq \xi _{n}^{k_{h}}(\sup\limits(\overline{x}, y, f(\overline{x}, y), A_{h})) \quad \text{car } h \in C_{n} \\&\leq \xi _{n}^{k_{h}}(\sup\limits(\overline{x}, y, \xi _{n}^{k_{g} + yk_{h}}(\sup\limits(\overline{x}, y, A_{g}, A_{h})), A_{g}, A_{h})) \quad \text{par hyp. de récurrence} \\&\leq \xi _{n}^{k_{h}}\circ\xi _{n}^{k_{g}+yk_{h}}(\sup\limits(\overline{x}, y, A_{g}, A_{h})) \quad \text{par les propriétés du Lemme 4} \\&\leq \xi _{n}^{k_{h} +yk_{h}}(\sup\limits(\overline{x}, y, A_{g}, A_{h})) \quad\text{encore par le Lemme 4} \\&\leq \xi _{n+1}(\sup\limits(\overline{x}, y, A_{g}, A_{h}) + k_{h}+yk_{h}) \quad\text{par le Lemme 6}\end{align}$
+> >    Or, la fonction $\lambda \overline{x}y. \xi _{n+1}(\sup\limits(\overline{x}, y, A_{g}, A_{h})+k_{h}+yk_{h})$ s'obtient par composition de fonctions de $C_{n+1}$ et est donc dans $C_{n+1}$ ([[fonction d'ackermann de cori et lascar#^lemme-5|Lemme 5]]), ce qui montre que $f \in C_{n+1}$
+^cloture-par-recurrence
+
+> [!proposition] Corollaire : $\displaystyle \mathscr{F} \subseteq \bigcup _{n\in \mathbb{N}} C_{n}$
+> $\displaystyle\bigcup _{n \in \mathbb{N}} C_{n}$ contient toutes les [[fonction récursive primitive|fonctions récursives primitives]].
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > En effet : 
+> >  - $\displaystyle\bigcup_{n \in \mathbb{N}}C_{n}$ contient toutes les fonctions constantes, toutes les fonctions projection, et la fonction sucesseur (car il contient $C_0$, qui [[fonction d'ackermann de cori et lascar#^fonctions-dans-C0|contient ces fonctions comme on l'a vu]])
+> >  - $\displaystyle\bigcup _{n \in \mathbb{N}}C_{n}$ est [[fonction d'ackermann de cori et lascar#^lemme-5|stable par composition]] et [[fonction d'ackermann de cori et lascar#^cloture-par-recurrence|stable par schéma de récurrence]]
+> >    
+> > Ce qui, [[fonction récursive primitive#^definition-courte|par définition]] de $\mathscr{F}$ montre que $\displaystyle\mathscr{F} \subseteq \bigcup _{n \in \mathbb{N}}C_{n}$
+
+> [!proposition]+ Théorème
+> La fonction d'Ackermann $\xi$ n'est pas [[fonction récursive primitive|récursive primitive]].
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > Supposons par l'absurde que $\xi$ est récursive primitive.
+> > Il en est alors de même pour $\lambda x. \xi(x, 2x)$.
+> > Il existe donc des entiers $n, k$ et $A$ tels que pour tout $x > A$ on a $\xi (x, 2x) \leq \xi _{n}^{k}(x)$
+> > Donc, par le [[fonction d'ackermann de cori et lascar#^lemme-6|Lemme 6]] on a que pour tout $x > A$ : $\xi _{x, 2x} \leq \xi _{n}^{k}(x) \leq \xi _{n+1}(x+k)$
+> > 
+> > Or, si $x > \sup\limits(A, k, n+1)$ on a :
+> > $\begin{align} \xi _{n+1}(x+k) &< \xi _{n+1}(2x) \quad\text{par le Lemme 4} \\&< \xi _{n} \end{align}$
+> > 
 
 
 

fonction récursive primitive.md

@@ -51,6 +51,7 @@ header-auto-numbering:
 >  - $E$ est **clos par récurrence** : si $g\in \mathscr{F}_{p}$ et $h \in \mathscr{F}_{p+2}$ sont dans $E$ alors $f: \begin{cases} f(\overline{x}, 0) = g(\overline{x})\\ f(\overline{x}, y+1) = h(\overline{x}, y, f(\overline{x}, y)) \end{cases}$ est dans $E$
 >      - i on pourra noter $f = \rho(g, h)$
 > 
+^definition-courte
 
 > [!info] Notations
 > Pour raccourcir les notations, et quand l'arité des fonctions est claire, on utilise $\overline{x}$ pour noter tout un groupe de paramètres. Par exemple :