diff --git a/fonction d'ackermann de cori et lascar.md b/fonction d'ackermann de cori et lascar.md index 52c4e615..ca57fd3c 100644 --- a/fonction d'ackermann de cori et lascar.md +++ b/fonction d'ackermann de cori et lascar.md @@ -115,7 +115,7 @@ aliases: > > ^lemme-4 -## Domination +## Domination : $C_{n}$ > [!definition] fonction dominant une autre > Soient $f \in \mathscr{F}_{1}$ et $g \in \mathscr{F}_{p}$ @@ -140,6 +140,7 @@ aliases: > - Les fonction linéaires $\lambda x. kx$ où $k$ est un entier quelconque > - dem $(\lambda x. kx)(x) \leq f(\sup\limits(x, k))$ > - i on utilise la notation $\overline{x}$, voir [[fonction récursive primitive#^notations|notation ̅x]] +^fonctions-dans-C0 > [!proposition]+ $\xi _{n} \in C_{n}$ > La fonction $\xi _{n}$ appartient à $C_{n}$ @@ -192,23 +193,47 @@ aliases: > > $\xi _{n}^{k+1}(x) = \xi _{n} \circ \xi _{n}^{k}(x) \underbrace{\leq \xi _{n}(\xi _{n+1}(x+k))}_{\text{par hypothèse}} \underbrace{=\xi _{n}(x+k+1)}_{\text{par définition de }\xi _{n}}$ ^lemme-6 -> [!proposition]+ Lemme 7 +> [!proposition]+ Lemme 7 - Clôture par schéma de récurrence > Soient $g \in \mathscr{F}_{p}$ et $h \in \mathscr{F}_{p+2}$ > Si $g$ et $h$ sont dans $C_{n}$ > Alors la fonction $f$ [[fonction récursive primitive#^definition|définie par récurrence à partir]] de $g$ et $h$ ($f = \rho(g, h)$) appartient à $C_{n+1}$ -> > [!démonstration] Démonstration +> - ! Ce n'est pas $C_{n}$ mais $\displaystyle\bigcup _{n \in \mathbb{N}}C_{n}$ qui sera stable par schéma de récurrence +> +> > [!démonstration]- Démonstration > > Ecrivons d'abord les hypothèses explicitement : > > On utilise la notation $\overline{x}$ pour $x_1, x_2, \dots, x_{p}$ > > $f(\overline{x}, 0) = g(\overline{x})$ > > $f(\overline{x}, y+1) = h(\overline{x}, y, f(\overline{x}, y))$ > > Ensuite, comme $g, h \in C_{n}$ on a : > > $\exists A_{g}, A_{h}, k_{g}, k_{h},\quad \forall \overline{x}, y, z,\quad \begin{cases} g(\overline{x}) \leq \xi _{n}^{k_{g}}(\sup\limits(\overline{x}, A_{g}))\\ h(\overline{x}, y, z) \leq \xi _{n}^{k_{h}}(\sup\limits(\overline{x}, y, z, A_{h})) \end{cases}$ -> > Montrons maintenant par récurrence sur $y$ que $\forall \overline{x}, y,\quad f(\overline{x}, y) \leq \xi _{n}^{k_{g}+yk_{h}}(\sup\limits(\overline{x}, y, A_{g}, A_{h}, ))$ - - - -# Exemples - +> > Montrons maintenant par récurrence sur $y$ que $\forall \overline{x}, y,\quad f(\overline{x}, y) \leq \xi _{n}^{k_{g}+yk_{h}}(\sup\limits(\overline{x}, y, A_{g}, A_{h}))$ +> > - **Initialisation** $y = 0$ +> > Pour $y=0$ on a $f(\overline{x}, y) = g(\overline{x}) \leq \underbrace{\xi _{n}^{k_{g}}(\sup\limits(\overline{x}, A_{g}))}_{\text{car } g \in C_{n}} \leq \xi _{n}^{k_{g} + \overbrace{yk_{h}}^{=0}}(\sup\limits(\overline{x}, y, A_{g}, A_{h}))$ +> > - **Récurrence** on suppose que $f(\overline{x}, y) \leq \xi _{n}^{k_{g} +y k_{h}}(\sup\limits(\overline{x}, y, A_{g}, A_{h}))$, montrons que c'est vrai pour $y+1$ +> > $\begin{align} f(\overline{x}, y+1) &= h(\overline{x}, y, f(\overline{x}, y))\\ &\leq \xi _{n}^{k_{h}}(\sup\limits(\overline{x}, y, f(\overline{x}, y), A_{h})) \quad \text{car } h \in C_{n} \\&\leq \xi _{n}^{k_{h}}(\sup\limits(\overline{x}, y, \xi _{n}^{k_{g} + yk_{h}}(\sup\limits(\overline{x}, y, A_{g}, A_{h})), A_{g}, A_{h})) \quad \text{par hyp. de récurrence} \\&\leq \xi _{n}^{k_{h}}\circ\xi _{n}^{k_{g}+yk_{h}}(\sup\limits(\overline{x}, y, A_{g}, A_{h})) \quad \text{par les propriétés du Lemme 4} \\&\leq \xi _{n}^{k_{h} +yk_{h}}(\sup\limits(\overline{x}, y, A_{g}, A_{h})) \quad\text{encore par le Lemme 4} \\&\leq \xi _{n+1}(\sup\limits(\overline{x}, y, A_{g}, A_{h}) + k_{h}+yk_{h}) \quad\text{par le Lemme 6}\end{align}$ +> > Or, la fonction $\lambda \overline{x}y. \xi _{n+1}(\sup\limits(\overline{x}, y, A_{g}, A_{h})+k_{h}+yk_{h})$ s'obtient par composition de fonctions de $C_{n+1}$ et est donc dans $C_{n+1}$ ([[fonction d'ackermann de cori et lascar#^lemme-5|Lemme 5]]), ce qui montre que $f \in C_{n+1}$ +^cloture-par-recurrence + +> [!proposition] Corollaire : $\displaystyle \mathscr{F} \subseteq \bigcup _{n\in \mathbb{N}} C_{n}$ +> $\displaystyle\bigcup _{n \in \mathbb{N}} C_{n}$ contient toutes les [[fonction récursive primitive|fonctions récursives primitives]]. +> > [!démonstration]- Démonstration +> > En effet : +> > - $\displaystyle\bigcup_{n \in \mathbb{N}}C_{n}$ contient toutes les fonctions constantes, toutes les fonctions projection, et la fonction sucesseur (car il contient $C_0$, qui [[fonction d'ackermann de cori et lascar#^fonctions-dans-C0|contient ces fonctions comme on l'a vu]]) +> > - $\displaystyle\bigcup _{n \in \mathbb{N}}C_{n}$ est [[fonction d'ackermann de cori et lascar#^lemme-5|stable par composition]] et [[fonction d'ackermann de cori et lascar#^cloture-par-recurrence|stable par schéma de récurrence]] +> > +> > Ce qui, [[fonction récursive primitive#^definition-courte|par définition]] de $\mathscr{F}$ montre que $\displaystyle\mathscr{F} \subseteq \bigcup _{n \in \mathbb{N}}C_{n}$ + +> [!proposition]+ Théorème +> La fonction d'Ackermann $\xi$ n'est pas [[fonction récursive primitive|récursive primitive]]. +> > [!démonstration]- Démonstration +> > Supposons par l'absurde que $\xi$ est récursive primitive. +> > Il en est alors de même pour $\lambda x. \xi(x, 2x)$. +> > Il existe donc des entiers $n, k$ et $A$ tels que pour tout $x > A$ on a $\xi (x, 2x) \leq \xi _{n}^{k}(x)$ +> > Donc, par le [[fonction d'ackermann de cori et lascar#^lemme-6|Lemme 6]] on a que pour tout $x > A$ : $\xi _{x, 2x} \leq \xi _{n}^{k}(x) \leq \xi _{n+1}(x+k)$ +> > +> > Or, si $x > \sup\limits(A, k, n+1)$ on a : +> > $\begin{align} \xi _{n+1}(x+k) &< \xi _{n+1}(2x) \quad\text{par le Lemme 4} \\&< \xi _{n} \end{align}$ +> > diff --git a/fonction récursive primitive.md b/fonction récursive primitive.md index 3deb1928..6e8d060f 100644 --- a/fonction récursive primitive.md +++ b/fonction récursive primitive.md @@ -51,6 +51,7 @@ header-auto-numbering: > - $E$ est **clos par récurrence** : si $g\in \mathscr{F}_{p}$ et $h \in \mathscr{F}_{p+2}$ sont dans $E$ alors $f: \begin{cases} f(\overline{x}, 0) = g(\overline{x})\\ f(\overline{x}, y+1) = h(\overline{x}, y, f(\overline{x}, y)) \end{cases}$ est dans $E$ > - i on pourra noter $f = \rho(g, h)$ > +^definition-courte > [!info] Notations > Pour raccourcir les notations, et quand l'arité des fonctions est claire, on utilise $\overline{x}$ pour noter tout un groupe de paramètres. Par exemple :