MacBook-Pro-de-Oscar.local 2026-1-12:22:8:58

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M1 LOGOS . mathématiques pour non spécialistes.md

@@ -12,12 +12,30 @@ aliases:
 >  - usage de la notation mathématique
 >  - les résultats seront démontrés
 
-- introduction à la notation mathématique ensembliste
+> [!info] introduction à la notation mathématique ensembliste
-    - $a \in E, \mathscr{P}(E), A \subseteq E, \forall x \in A\, x \in E$
+> - :( j'ai pas pris de notes
-    - [[entiers de von Neumann]]
 
- - topologie
+> [!info]- entiers de von Newmann
-     - [[boule ouverte]]
+>  ![[entiers de von Neumann]]
-     - ! [[voisinage]] défini comme le fait de contenir une boule ouverte (de même centre que...)
+
+# Topologie
+
+- def **espace métrique** $(E, d)$ : ensemble $E$ muni d'une distance $d$
+- I Dans la suite de mes notes, j'utilise le terme plus précis d'espace préhilbertien, qui peut être assimilé
+
+> [!info]- distance
+> ![[distance]]
+
+> [!info]- boule ouverte
+> ![[boule ouverte]]
+
+> [!info]- boule fermée
+> ![[boule fermée]]
+
+> [!info]- voisinage
+>  - ! [[voisinage]] défini comme le fait de contenir une boule ouverte (de même centre que...)
+> 
+> Mais voici mes notes :
+> ![[voisinage]]
 
 

distance.md

@@ -35,7 +35,35 @@ depth: [0, 0]
 > Si $\|\cdot\|$ est une norme sur $E$, alors l'application
 > $\begin{align} d :& E\times E \to \mathbb{R}\\ &(x, y) \to \|x-y\| \end{align}$
 > est une distance
-> [[démonstration qu'une norme peut former une distance|démonstration]]
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > Soit $E$ un [[espace vectoriel]]
+> > Soit $\|\cdot\|$ une [[norme]] sur $E$
+> > Soit l'application :
+> > $\begin{align} d :& E\times E \to \mathbb{R}\\ &(x, y) \mapsto \|x -y\| \end{align}$
+> > On cherche à montrer que $d$ est une [[distance]].
+> > 
+> > $\forall x, y \in E, \quad d(x, y) = \|x-y\| \geq 0$ donc $d$ est bien positive
+> > 
+> > $\forall x, y \in E$ on a :
+> > $\begin{align} d(x, y) =0 &\iff \|x-y\| = 0_{\mathbb{R}} \\ &\iff x - y = 0_{E}  \\ &\iff x = y \end{align}$
+> > Donc la séparation est bien vérifiée ($\forall x, y \in E, \quad d(x, y) = 0 \implies x = y$) et un point est bien à distance nulle de lui-même ($\forall x, y \in E, \quad x = y \implies d(x, y) = 0$)
+> > 
+> > $\forall x, y \in E$ on a :
+> > $\begin{align} d(y, x) &= \|y-x\| \\&= \|(-1)(x-y)\| \\&= |-1|\cdot\|x-y\| & \text{homogénéité} \\&= \|x-y\| \\&= d(x, y) \end{align}$
+> > Donc $d$ est bien symétrique
+> > 
+> > Soient $x, y , z \in E$
+> > $$\begin{align}  
+> > d(x, z) &= \|x - z\|  \\
+> > &= \|x - y + y - z\| \\
+> > &\leq \|x - y\| + \|y - t\| & \text{par l'inégalité trianglulaire}\\
+> > &\leq d(x, y)	+ d(y, z)
+> > \end{align}
+> > $$
+> > Donc $d$ respecte l'inégalité trianglulaire.
+> > 
+> > Alors, comme $d$ respecte les axiomes de séparation, 
+
 
 # Exemples
 
@@ -43,4 +71,5 @@ depth: [0, 0]
 > Soit $X = \mathbb{R}^{2} \setminus \text{obstacles}$ 
 > ![[cours L3.topologie.espaces métriques et espaces vectoriels normés 2024-09-05 10.50.22.excalidraw]]
 > On peut définir $d(a, b) = \inf(\text{longueur de tous les chemins reliant } a \text{ à } b)$
+> On pourra alors vérifier que c'est bien une distance (elle respecte les propriétés)
 

démonstration qu'une norme peut former une distance.md

@@ -1,30 +0,0 @@
-up:: [[distance]], [[norme]]
-#s/maths/algèbre 
-
-Soit $E$ un [[espace vectoriel]]
-Soit $\|\cdot\|$ une [[norme]] sur $E$
-Soit l'application :
-$\begin{align} d :& E\times E \to \mathbb{R}\\ &(x, y) \mapsto \|x -y\| \end{align}$
-On cherche à montrer que $d$ est une [[distance]].
-
-$\forall x, y \in E, \quad d(x, y) = \|x-y\| \geq 0$ donc $d$ est bien positive
-
-$\forall x, y \in E$ on a :
-$\begin{align} d(x, y) =0 &\iff \|x-y\| = 0_{\mathbb{R}} \\ &\iff x - y = 0_{E}  \\ &\iff x = y \end{align}$
-Donc la séparation est bien vérifiée ($\forall x, y \in E, \quad d(x, y) = 0 \implies x = y$) et un point est bien à distance nulle de lui-même ($\forall x, y \in E, \quad x = y \implies d(x, y) = 0$)
-
-$\forall x, y \in E$ on a :
-$\begin{align} d(y, x) &= \|y-x\| \\&= \|(-1)(x-y)\| \\&= |-1|\cdot\|x-y\| & \text{homogénéité} \\&= \|x-y\| \\&= d(x, y) \end{align}$
-Donc $d$ est bien symétrique
-
-Soient $x, y , z \in E$
-$$\begin{align}  
-d(x, z) &= \|x - z\|  \\
-&= \|x - y + y - z\| \\
-&\leq \|x - y\| + \|y - t\| & \text{par l'inégalité trianglulaire}\\
-&\leq d(x, y)	+ d(y, z)
-\end{align}
-$$
-Donc $d$ respecte l'inégalité trianglulaire.
-
-Alors, comme $d$ respecte les axiomes de séparation, 

généralité absolue.md

@@ -29,7 +29,8 @@ L'être n'est pas un genre ([[Aristote]])
 - source:: Lebrun (voir note de cours)
     - La logique formelle devient la science de l'être en tant qu'être, c'est ce passage que Kant veut critiquer.
     - Les métaphysiciens sont fascinés par la logique, et l'utilisent pour faire croire en la solidité de leur édifice.
-[@antoninPOURDESIGNMINIMAL]
+
+
 
 ## Obstacle logico-mathématique
 [[paradoxe de Russel]]