cours/distance.md

up, tags

up	tags
norme	#s/maths/algèbre

[!definition] Distance Soit X un ensemble Une application d : X \times X \to \mathbb{R} est appelée distance ssi :

• \forall (x, y) \in X^{2}, \quad d(x, y) = d(y, x) (relation symétrique)
• \forall (x, y) \in X^{2}, \quad d(x, y) \geq 0 toutes les distances sont positives ou nulles
• \forall x \in X, \quad d(x, x) = 0
• \forall (x, y) \in X^{2}, \quad d(x, y) = 0 \implies x = y (espace séparé)
• \forall (x, y, z) \in X^{3}, \quad d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z) (inégalité triangulaire) ^definition

[!definition] distance (définition à partir d'une norme) Soit (E, \langle\cdot,\cdot \rangle) un espace préhilbertien Soit \|\cdot\| la norme de cet espace (\|x\|^{2} = \langle x, x \rangle) On définit une distance d sur cet espace, à partir de la norme comme : \boxed{d(x, y) = \|y - x\|} ^definition-depuis-une-norme

title: "Sous-notes"
type: tree
collapse: false
show-attributes: [field]
field-groups: [downs]
depth: [0, 0]

Propriétés

[!info] Equivalence entre distance et norme Si \|\cdot\| est une norme sur E, alors l'application \begin{align} d :& E\times E \to \mathbb{R}\\ &(x, y) \to \|x-y\| \end{align} est une distance

[!démonstration]- Démonstration Soit E un espace vectoriel Soit \|\cdot\| une norme sur E Soit l'application : \begin{align} d :& E\times E \to \mathbb{R}\\ &(x, y) \mapsto \|x -y\| \end{align} On cherche à montrer que d est une distance.

\forall x, y \in E, \quad d(x, y) = \|x-y\| \geq 0 donc d est bien positive

\forall x, y \in E on a : \begin{align} d(x, y) =0 &\iff \|x-y\| = 0_{\mathbb{R}} \\ &\iff x - y = 0_{E} \\ &\iff x = y \end{align} Donc la séparation est bien vérifiée (\forall x, y \in E, \quad d(x, y) = 0 \implies x = y) et un point est bien à distance nulle de lui-même (\forall x, y \in E, \quad x = y \implies d(x, y) = 0)

\forall x, y \in E on a : \begin{align} d(y, x) &= \|y-x\| \\&= \|(-1)(x-y)\| \\&= |-1|\cdot\|x-y\| & \text{homogénéité} \\&= \|x-y\| \\&= d(x, y) \end{align} Donc d est bien symétrique

Soient x, y , z \in E $$\begin{align}
d(x, z) &= |x - z| \ &= |x - y + y - z| \ &\leq |x - y| + |y - t| & \text{par l'inégalité trianglulaire}\ &\leq d(x, y) + d(y, z) \end{align}

Donc $d$ respecte l'inégalité trianglulaire.

Alors, comme $d$ respecte les axiomes de séparation, 

Exemples

[!example] Exemple Soit X = \mathbb{R}^{2} \setminus \text{obstacles} !cours L3.topologie.espaces métriques et espaces vectoriels normés 2024-09-05 10.50.22.excalidraw On peut définir d(a, b) = \inf(\text{longueur de tous les chemins reliant } a \text{ à } b) On pourra alors vérifier que c'est bien une distance (elle respecte les propriétés)