From 5c3bb2ee31ae26e0d5bf45e2444d0a837388c68b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: oskar Date: Mon, 12 Jan 2026 22:08:58 +0100 Subject: [PATCH] MacBook-Pro-de-Oscar.local 2026-1-12:22:8:58 --- .obsidian/plugins/extended-graph/data.json | 2 +- ...S . mathématiques pour non spécialistes.md | 30 ++++++++++++++---- distance.md | 31 ++++++++++++++++++- ...on qu'une norme peut former une distance.md | 30 ------------------ généralité absolue.md | 3 +- 5 files changed, 57 insertions(+), 39 deletions(-) delete mode 100644 démonstration qu'une norme peut former une distance.md diff --git a/.obsidian/plugins/extended-graph/data.json b/.obsidian/plugins/extended-graph/data.json index 213d6a4a..f6d5075a 100644 --- a/.obsidian/plugins/extended-graph/data.json +++ b/.obsidian/plugins/extended-graph/data.json @@ -100,7 +100,7 @@ "repelStrength": 10, "linkStrength": 1, "linkDistance": 30, - "scale": 1.3911669376622258, + "scale": 0.6463810547923377, "close": true }, "states": [ diff --git a/M1 LOGOS . mathématiques pour non spécialistes.md b/M1 LOGOS . mathématiques pour non spécialistes.md index fbee8caf..0f6a45ba 100644 --- a/M1 LOGOS . mathématiques pour non spécialistes.md +++ b/M1 LOGOS . mathématiques pour non spécialistes.md @@ -12,12 +12,30 @@ aliases: > - usage de la notation mathématique > - les résultats seront démontrés -- introduction à la notation mathématique ensembliste - - $a \in E, \mathscr{P}(E), A \subseteq E, \forall x \in A\, x \in E$ - - [[entiers de von Neumann]] +> [!info] introduction à la notation mathématique ensembliste +> - :( j'ai pas pris de notes - - topologie - - [[boule ouverte]] - - ! [[voisinage]] défini comme le fait de contenir une boule ouverte (de même centre que...) +> [!info]- entiers de von Newmann +> ![[entiers de von Neumann]] + +# Topologie + +- def **espace métrique** $(E, d)$ : ensemble $E$ muni d'une distance $d$ +- I Dans la suite de mes notes, j'utilise le terme plus précis d'espace préhilbertien, qui peut être assimilé + +> [!info]- distance +> ![[distance]] + +> [!info]- boule ouverte +> ![[boule ouverte]] + +> [!info]- boule fermée +> ![[boule fermée]] + +> [!info]- voisinage +> - ! [[voisinage]] défini comme le fait de contenir une boule ouverte (de même centre que...) +> +> Mais voici mes notes : +> ![[voisinage]] diff --git a/distance.md b/distance.md index 41c2e7fd..f5a46ac8 100644 --- a/distance.md +++ b/distance.md @@ -35,7 +35,35 @@ depth: [0, 0] > Si $\|\cdot\|$ est une norme sur $E$, alors l'application > $\begin{align} d :& E\times E \to \mathbb{R}\\ &(x, y) \to \|x-y\| \end{align}$ > est une distance -> [[démonstration qu'une norme peut former une distance|démonstration]] +> > [!démonstration]- Démonstration +> > Soit $E$ un [[espace vectoriel]] +> > Soit $\|\cdot\|$ une [[norme]] sur $E$ +> > Soit l'application : +> > $\begin{align} d :& E\times E \to \mathbb{R}\\ &(x, y) \mapsto \|x -y\| \end{align}$ +> > On cherche à montrer que $d$ est une [[distance]]. +> > +> > $\forall x, y \in E, \quad d(x, y) = \|x-y\| \geq 0$ donc $d$ est bien positive +> > +> > $\forall x, y \in E$ on a : +> > $\begin{align} d(x, y) =0 &\iff \|x-y\| = 0_{\mathbb{R}} \\ &\iff x - y = 0_{E} \\ &\iff x = y \end{align}$ +> > Donc la séparation est bien vérifiée ($\forall x, y \in E, \quad d(x, y) = 0 \implies x = y$) et un point est bien à distance nulle de lui-même ($\forall x, y \in E, \quad x = y \implies d(x, y) = 0$) +> > +> > $\forall x, y \in E$ on a : +> > $\begin{align} d(y, x) &= \|y-x\| \\&= \|(-1)(x-y)\| \\&= |-1|\cdot\|x-y\| & \text{homogénéité} \\&= \|x-y\| \\&= d(x, y) \end{align}$ +> > Donc $d$ est bien symétrique +> > +> > Soient $x, y , z \in E$ +> > $$\begin{align} +> > d(x, z) &= \|x - z\| \\ +> > &= \|x - y + y - z\| \\ +> > &\leq \|x - y\| + \|y - t\| & \text{par l'inégalité trianglulaire}\\ +> > &\leq d(x, y) + d(y, z) +> > \end{align} +> > $$ +> > Donc $d$ respecte l'inégalité trianglulaire. +> > +> > Alors, comme $d$ respecte les axiomes de séparation, + # Exemples @@ -43,4 +71,5 @@ depth: [0, 0] > Soit $X = \mathbb{R}^{2} \setminus \text{obstacles}$ > ![[cours L3.topologie.espaces métriques et espaces vectoriels normés 2024-09-05 10.50.22.excalidraw]] > On peut définir $d(a, b) = \inf(\text{longueur de tous les chemins reliant } a \text{ à } b)$ +> On pourra alors vérifier que c'est bien une distance (elle respecte les propriétés) diff --git a/démonstration qu'une norme peut former une distance.md b/démonstration qu'une norme peut former une distance.md deleted file mode 100644 index 1ee8b9d0..00000000 --- a/démonstration qu'une norme peut former une distance.md +++ /dev/null @@ -1,30 +0,0 @@ -up:: [[distance]], [[norme]] -#s/maths/algèbre - -Soit $E$ un [[espace vectoriel]] -Soit $\|\cdot\|$ une [[norme]] sur $E$ -Soit l'application : -$\begin{align} d :& E\times E \to \mathbb{R}\\ &(x, y) \mapsto \|x -y\| \end{align}$ -On cherche à montrer que $d$ est une [[distance]]. - -$\forall x, y \in E, \quad d(x, y) = \|x-y\| \geq 0$ donc $d$ est bien positive - -$\forall x, y \in E$ on a : -$\begin{align} d(x, y) =0 &\iff \|x-y\| = 0_{\mathbb{R}} \\ &\iff x - y = 0_{E} \\ &\iff x = y \end{align}$ -Donc la séparation est bien vérifiée ($\forall x, y \in E, \quad d(x, y) = 0 \implies x = y$) et un point est bien à distance nulle de lui-même ($\forall x, y \in E, \quad x = y \implies d(x, y) = 0$) - -$\forall x, y \in E$ on a : -$\begin{align} d(y, x) &= \|y-x\| \\&= \|(-1)(x-y)\| \\&= |-1|\cdot\|x-y\| & \text{homogénéité} \\&= \|x-y\| \\&= d(x, y) \end{align}$ -Donc $d$ est bien symétrique - -Soient $x, y , z \in E$ -$$\begin{align} -d(x, z) &= \|x - z\| \\ -&= \|x - y + y - z\| \\ -&\leq \|x - y\| + \|y - t\| & \text{par l'inégalité trianglulaire}\\ -&\leq d(x, y) + d(y, z) -\end{align} -$$ -Donc $d$ respecte l'inégalité trianglulaire. - -Alors, comme $d$ respecte les axiomes de séparation, diff --git a/généralité absolue.md b/généralité absolue.md index 9a4e70f1..82568880 100644 --- a/généralité absolue.md +++ b/généralité absolue.md @@ -29,7 +29,8 @@ L'être n'est pas un genre ([[Aristote]]) - source:: Lebrun (voir note de cours) - La logique formelle devient la science de l'être en tant qu'être, c'est ce passage que Kant veut critiquer. - Les métaphysiciens sont fascinés par la logique, et l'utilisent pour faire croire en la solidité de leur édifice. -[@antoninPOURDESIGNMINIMAL] + + ## Obstacle logico-mathématique [[paradoxe de Russel]]