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fonction d'ackermann de cori et lascar.md

@@ -103,7 +103,10 @@ aliases:
 >    > - **Initialisation :** $\xi _{m}^{0} = \xi _{n}^{0} = \lambda x. x$ donc l'inégalité est triviallement vraie
 >    > - **Récurrence :**
 >    >   On suppose $\xi _{m}^{k}(x) \leq \xi _{n}^{k}(x)$ et on veut montrer que $\xi _{m}^{k+1}(x) \leq \xi _{n}^{k+1}(x)$.
->    >   On a alors 
+>    >   On sait (par définition) que :
+>    >   $\xi _{m}^{k+1}(x) = \xi _{m} \circ \xi _{m}^{k}(x)$
+>    >   $\xi _{n}^{k+1}(x) = \xi _{n} \circ \xi _{n}^{k}(x)$
+>    >   Or, par le [[fonction d'ackermann de cori et lascar#^lemme-3|Lemme 3]] on sait que $\xi _{n}(x) \geq \xi _{n-1}(x)$, ce qui, par itération de la propriété, permet d'obtenir $\xi _{n}(x) \geq \xi _{m}(x)$
 >    >   
 >