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fonction d'ackermann de cori et lascar.md

@@ -16,7 +16,8 @@ aliases:
 >  - $\forall x, y \in \mathbb{N},\quad \xi(y+1, x+1) = \xi(y, \xi(y+1, x))$
 > 
 > On pourra aussi noter :
-> $\xi _{n}(x) = \xi(n, x)$
+> $\xi _{n}(x) = \xi(n, x)$ (définie comme $\xi _{n} := \lambda x. \xi(n, x)$)
+> La relation de récurrence est alors : $\xi _{n+1}(x+1) = \xi _{n}(\xi _{n+1}(x))$
 ^definition
 
 # Propriétés
@@ -95,7 +96,16 @@ aliases:
 >  - $\xi _{n}^{k}(x) \geq x$
 >      - dem $\xi _{n}^{0}(x) = x \geq x$, or on vu plus haut que $\xi _{n}^{k+1}(x) > \xi _{n}^{k}(x)$ 
 >  - $\xi _{n}^{k} \circ \xi _{n}^{h} = \xi _{n}^{k+h}$
+>      - dem cela est assez évident par définition
 >  - si $m \leq n$ alors $\xi _{m}^{k}(x) \leq \xi _{n}^{k}(x)$
+>    > [!démonstration]- Démonstration
+>    > On procède par récurrence sur $k$ :
+>    > - **Initialisation :** $\xi _{m}^{0} = \xi _{n}^{0} = \lambda x. x$ donc l'inégalité est triviallement vraie
+>    > - **Récurrence :**
+>    >   On suppose $\xi _{m}^{k}(x) \leq \xi _{n}^{k}(x)$ et on veut montrer que $\xi _{m}^{k+1}(x) \leq \xi _{n}^{k+1}(x)$.
+>    >   On a alors 
+>    >   
+> 
 
 # Exemples