eduroam-prg-sg-1-46-206.net.univ-paris-diderot.fr 2025-10-8:14:35:30

théorie logique.md

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 # Propriétés
 
 > [!proposition]+ Cohérence
-> une théorie est cohérente    
+> une théorie est cohérente     
+> 
+> > [!corollaire] Lemme
+> > Une théorie $T$ est cohérente s'il n'existe pas d'énoncé $f$ tel que $T \vdash f$ et $T \vdash \neg f$
+> > 
+
+> [!proposition]+ Finitude
+> Si $T \vdash f$
+> il existe une partie finie $T_{0}$ de $T$ telle que $T_{0} \vdash f$
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > regarder une démonstration de $T \vdash f$
+> > $T_0 = \{ \text{axiomes de } T \text{ qui apparaissent} \}$
+> > C'est une preuve de $T_0 \vdash f$
+> 
+> > [!corollaire]
+> > Une théorie $T$ est cohérente si et seulement si toute partie finie de $T$ est cohérente
+> 
+> > [!corollaire] 
+> > Si $(T_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite croissante ($T_0 \subseteq T_1 \subseteq T_2 \subseteq \cdots$) de théories **cohérentes**
+> > Alors $\displaystyle T = \bigcup _{n \in \mathbb{N}} T_{n}$ est cohérente
+> > 
+> > > [!démonstration]- Démonstration
+> > > Soit $F \subseteq T$ une partie finie de $T$
+> > > On se demande si $F$ est cohérente
+> > > $f \in F \leadsto n_{f} \in \mathbb{N} \text{ tq } f \in T_{n_{f}}$
+> > > $\displaystyle n = min_{f \in F}(n_{f})$
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