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aliases:
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- monogène
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up:: [[sous groupe engendré]]
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#s/maths/algèbre
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> [!definition] [[groupe monogène]]
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> On dit qu'un groupe $G$ est **monogène** s'il est engendré par un élément :
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> $\exists g \in G,\quad G = \left\langle G \right\rangle$
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^definition
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# Propriétés
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> [!proposition]+ Engendrement par itération de $g$
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> si $G = \left\langle g \right\rangle$ est monogène, alors $G = \{ g^{n} \mid n \in \mathbb{Z} \}$
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> - ! Il peut y avoir des répétitions : on peut avoir $n \neq m$ mais $g^{n} = g^{m}$
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> [!proposition]+ monogène $\implies$ [[commutativité|commutatif]]
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> Tout groupe monogène est [[commutativité|commutatif]].
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> - I vient du fait qu'un groupe homogène est composé seulement de puissances d'un même élément
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>
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > Si $G = \left\langle x \right\rangle$, alors pour $g, h \in G$ on a :
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> > si $a, b \in \mathbb{Z}$ sont tels que $g = x^{a}$ et $h = x^{b}$
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> > alors $gh = x^{a}x^{b} = x^{a+b} = x^{b+a} = x^{b}+x^{a} = hg$
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> > donc $h$ et $g$ commutent, et $G$ est bien commutatif
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> [!proposition]+ groupes monogènes à l'isomorphisme près
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> Soi $G$ un groupe monogène
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> - Si $\#G = \infty$ alors $G \simeq \mathbb{Z}$
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> - Si $\#G = n \in \mathbb{N}^{*}$ alors $G \simeq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$
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> - I A isomorphisme près, il y a un unique groupe monogène d'ordre $n \in \mathbb{N}^{*} \cup \{ \infty \}$
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> - = par exemple $\mu _{n}(\mathbb{C}) \simeq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$
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>
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > Soit $G$ un groupe monogène, et soit $x$ un générateur de $G$
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> > - on suppose $\#G = \infty$.
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> > On considère alors l'application
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> > $\begin{align} f: \mathbb{Z} &\to G\\ n &\mapsto x^{n} \end{align}$
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> > Montrons que $f$ est un [[morphisme de groupes]] :
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> > Soit $(m, n) \in \mathbb{Z}^{2}$, on a $f(n+m) = x^{n+m} = x^{n}x^{m} = f(n)f(m)$
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> > Montrons que $f$ est injective :
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> > Puisque $\#G$ est infini, on sait que $x$ est d'ordre infini.
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> > Soient $n \leq m \in \mathbb{Z}$ et tels que $f(n) = f(m)$.
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> > On a $x^{m-n} = e$. Si $n \neq m$ cela montrerait que $x$ est d'ordre fini, on doit donc avoir $n = m$.
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> > De plus, $f$ est surjective par définition d'un groupe monogène.
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> > Ainsi, $f$ est un morphisme injectif et surjectif, c'est-à-dire un [[isomorphisme]].
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> > Autrement dit, $\mathbb{Z} \simeq G$
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> > - On suppose $n := \#G \in \mathbb{N}$ (donc $\#G$ fini)
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> > Soit $g \in G$ un générateur de $G$
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> > Par hypothèse, $\left< g \right> = G$ est d'ordre $n$, donc $o(g) = n$
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> > On considère :
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> > $\begin{align} f : \mathbb{Z} &\to G \\ k &\mapsto g^{k }\end{align}$
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> > - $f$ est un morphisme car $g^{k+k'} = g^{k}g^{k'}$
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> > - $f$ est surjetif car $G = \left< g \right> = \{ g^{k} \mid k \in \mathbb{Z} \}$
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> > - $\ker f = n\mathbb{Z}$ car $k \in \ker f \iff g^{k} = 1 \iff o(g) | k \iff n|k \iff k \in n\mathbb{Z}$
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> > Ainsi, par le [[théorème d'isomorphisme]], on a $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \simeq G$
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> >
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^isomorphisme-groupes-monogenes
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# Exemples
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> [!example] $\mathbb{Z}$
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> $\mathbb{Z}$ est monogène. On a même :
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> $k \in \mathbb{Z} \text{ engendre } \mathbb{Z}$ $\iff$ $k = \pm 1$
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > - $\impliedby$
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> > $\left\langle k \right\rangle = \{ nk \mid n \in \mathbb{Z} \}$ par définition d'un groupe engendré (notation additive)
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> > On a $\forall n \in \mathbb{Z},\quad n = n\times 1 \in \left\langle 1 \right\rangle$
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> > donc $\mathbb{Z} \subseteq \left\langle 1 \right\rangle$, donc $\mathbb{Z} = \left\langle 1 \right\rangle$ et $1$ engendre $\mathbb{Z}$
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> > De même, $n = (-n)(-1) \in \left\langle -1 \right\rangle$ donc $-1$ engendre $\mathbb{Z}$
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> > - $\implies$
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> > Si maintenant $k \in \mathbb{Z}$ est tel que $\left\langle k \right\rangle = \mathbb{Z}$ ($k$ engendre $\mathbb{Z}$)
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> > alors $1 \in \left\langle k \right\rangle$ donc $\exists n \in \mathbb{Z},\quad 1 = nk$
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> > ainsi, $k = \pm 1$ car $n, k \in \mathbb{Z}$
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> >
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> [!example] $\mathbb{Q}$ n'est **pas** monogène
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