---
aliases:
  - monogène
---
up:: [[sous groupe engendré]]
#s/maths/algèbre 

> [!definition] [[groupe monogène]]
> On dit qu'un groupe $G$ est **monogène** s'il est engendré par un élément :
> $\exists g \in G,\quad G = \left\langle G \right\rangle$
^definition

# Propriétés

> [!proposition]+ Engendrement par itération de $g$
> si $G = \left\langle g \right\rangle$ est monogène, alors $G = \{ g^{n} \mid n \in \mathbb{Z} \}$
> - ! Il peut y avoir des répétitions : on peut avoir $n \neq m$ mais $g^{n} = g^{m}$

> [!proposition]+ monogène $\implies$ [[commutativité|commutatif]]
> Tout groupe monogène est [[commutativité|commutatif]].
> - I vient du fait qu'un groupe homogène est composé seulement de puissances d'un même élément
>
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Si $G = \left\langle x \right\rangle$, alors pour $g, h \in G$ on a :
> > si $a, b \in \mathbb{Z}$ sont tels que $g = x^{a}$ et $h = x^{b}$
> > alors $gh = x^{a}x^{b} = x^{a+b} = x^{b+a} = x^{b}+x^{a} = hg$
> > donc $h$ et $g$ commutent, et $G$ est bien commutatif

> [!proposition]+ groupes monogènes à l'isomorphisme près
> Soi $G$ un groupe monogène
> - Si $\#G = \infty$ alors $G \simeq \mathbb{Z}$
> - Si $\#G = n \in \mathbb{N}^{*}$ alors $G \simeq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$
> ---
> - I A isomorphisme près, il y a un unique groupe monogène d'ordre $n \in \mathbb{N}^{*} \cup \{  \infty \}$ 
> - = par exemple $\mu _{n}(\mathbb{C}) \simeq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Soit $G$ un groupe monogène, et soit $x$ un générateur de $G$
> > - on suppose $\#G = \infty$.
> > On considère alors l'application
> > $\begin{align} f: \mathbb{Z} &\to G\\ n &\mapsto x^{n} \end{align}$
> > Montrons que $f$ est un [[morphisme de groupes]] :
> > Soit $(m, n) \in \mathbb{Z}^{2}$, on a $f(n+m) = x^{n+m} = x^{n}x^{m} = f(n)f(m)$
> > Montrons que $f$ est injective :
> > Puisque $\#G$ est infini, on sait que $x$ est d'ordre infini.
> > Soient $n \leq m \in \mathbb{Z}$ et tels que $f(n) = f(m)$.
> > On a $x^{m-n} = e$. Si $n \neq m$ cela montrerait que $x$ est d'ordre fini, on doit donc avoir $n = m$.
> > De plus, $f$ est surjective par définition d'un groupe monogène.
> > Ainsi, $f$ est un morphisme injectif et surjectif, c'est-à-dire un [[isomorphisme]].
> > Autrement dit, $\mathbb{Z} \simeq G$
> > - On suppose $n := \#G \in \mathbb{N}$ (donc $\#G$ fini)
> > Soit $g \in G$ un générateur de $G$
> > Par hypothèse, $\left< g \right> = G$ est d'ordre $n$, donc $o(g) = n$
> > On considère :
> >  $\begin{align} f : \mathbb{Z} &\to G \\ k &\mapsto g^{k }\end{align}$
> >     - $f$ est un morphisme car $g^{k+k'} = g^{k}g^{k'}$
> >     - $f$ est surjetif car $G = \left< g \right> = \{ g^{k} \mid k \in \mathbb{Z} \}$ 
> >     - $\ker f = n\mathbb{Z}$ car $k \in \ker f \iff g^{k} = 1 \iff o(g) | k \iff n|k \iff k \in n\mathbb{Z}$
> >   Ainsi, par le [[théorème d'isomorphisme]], on a $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \simeq G$
> >     
^isomorphisme-groupes-monogenes



# Exemples

> [!example] $\mathbb{Z}$
> $\mathbb{Z}$ est monogène. On a même :
> $k \in \mathbb{Z} \text{ engendre } \mathbb{Z}$ $\iff$ $k = \pm 1$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > - $\impliedby$
> > $\left\langle k \right\rangle = \{ nk \mid n \in \mathbb{Z} \}$ par définition d'un groupe engendré (notation additive)
> > On a $\forall n \in \mathbb{Z},\quad n = n\times 1 \in \left\langle 1 \right\rangle$ 
> > donc $\mathbb{Z} \subseteq \left\langle 1 \right\rangle$, donc $\mathbb{Z} = \left\langle 1 \right\rangle$ et $1$ engendre $\mathbb{Z}$
> > De même, $n = (-n)(-1) \in \left\langle -1 \right\rangle$ donc $-1$ engendre $\mathbb{Z}$
> > - $\implies$
> > Si maintenant $k \in \mathbb{Z}$ est tel que $\left\langle k \right\rangle = \mathbb{Z}$ ($k$ engendre $\mathbb{Z}$)
> > alors $1 \in \left\langle k \right\rangle$ donc $\exists n \in \mathbb{Z},\quad 1 = nk$
> > ainsi, $k = \pm 1$ car $n, k \in \mathbb{Z}$
> > 

> [!example] $\mathbb{Q}$ n'est **pas** monogène
>