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- s/maths
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- s/informatique
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- fonctions récursives primitives
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- récursive primitive
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source:
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> [!definition] [[fonction récursive primitive]]
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> On définit par [[induction]] l'ensemble des fonctions récursives primitives comme suit :
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> > [!definition] ensembles $\mathscr{F}_{p}$ et $\mathscr{F}$
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> > Soit $p \in \mathbb{N}$ on note $\mathscr{F}_{p}$ l'ensemble des applications de $\mathbb{N}^{p} \to \mathbb{N}$ (par convention, $\mathscr{F}_{0}$ ne contient que la suite vide)
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> > On note $\displaystyle\mathscr{F} = \bigcup _{p \in \mathbb{N}} \mathscr{F}_{p}$
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>
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> > [!definition] Fonctions projection
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> > On note $P_{p}^{i}$ (pour $1 \leq i \leq p$) la fonction de $\mathscr{F}_{p}$ telle que pour tout $x_1, \dots, x_{p} \in \mathbb{N}$ on a :
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> > $P_{p}^{i}(x_1, x_2, \dots, x_{p}) = x_{i}$
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>
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> > [!definition] fonction successeur
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> > On note $S$ la fonction de $\mathscr{F}_{1}$ qui à chaque entier $n$ fait correspondre $n+1$ :
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> > $S = \lambda x. x+1$
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>
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> > [!definition] Définition par récurrence
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> > Soient $f \in \mathscr{F}_{p}$ et $g \in \mathscr{F}_{p+2}$, il existe une unique fonction de $\mathscr{F}_{p+1}$ qui, pour tout $x_1, \dots, x_{p}, y \in \mathbb{N}$ respecte :
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> > - $f(x_1, x_2, \dots, x_{p}, 0) = g(x_1, x_2, \dots, x_{p})$
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> > - $f(x_1, x_2, \dots, x_{p}, y+1) = h(x_1, x_2, \dots, x_{p}, y, f(x_1, x_2, \dots, x_{p}, y))$
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>
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> L'ensemble des **fonctions récursives primitives** est alors le plus petit des sous ensembles $E$ de $\mathscr{F}$ tel que :
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> - $E$ contient toutes les fonctions constantes de $\mathscr{F}$
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> - i On notera $C_{p}^{x}$ la fonction constante d'arité $p$ valant $x$ partout
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> - $E$ contient toutes les projections $P_{p}^{i}$ pour tous les entiers $p$ et $i$ avec $1 \leq i \leq p$
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> - $E$ contient la fonction successeur $S$
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> - $E$ est clos par composition, c'est-à-dire que si $n,p \in \mathbb{N}$ , si $f_1, f_2, \dots, f_{n}$ sont des fonctions de $\mathscr{F}_{p}$ qui sont aussi dans $E$, et si $g \in \mathscr{F}_{n}$ est aussi dans $E$, alors la fonction composée $g(f_1, f_2, \dots, f_{n})$ appartient à E
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> - i on accepte l'abus de notation $g(f_1, f_2, \dots, f_{n})$ pour la composition
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> - $E$ est clos par récurrence, cc'est-à-dire que si $p \in \mathbb{N}$, si $g \in \mathscr{F}_{p}$ et $h \in \mathscr{F}_{p+2}$ sont dans $E$, alors la fonction $f \in \mathscr{F}_{p+1}$ définie par récurrence à partir de $g$ et $h$ est aussi dans $E$ : $f : \begin{cases} f(x_1,x_2, \dots, x_{p}, 0) = g(x_1, x_2, \dots, x_{p})\\ f(x_1, x_2, \dots, x_{p}, y+1) = h(x_1, x_2, \dots, x_{p}, y, f(x_1, x_2, \dots, x_{p}, y)) \end{cases}$
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> - i on pourra noter $f = \rho(g, h)$
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^definition
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> [!definition] Définition courte
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> Soit $\mathscr{F}$ l'ensemble des fonctions à valeurs entières et à paramètres entiers.
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> L'ensemble des **fonctions récursives primitives** est alors le plus petit des sous ensembles $E$ de $\mathscr{F}$ tel que :
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> - $E$ contient toutes les fonctions **constantes** de $\mathscr{F}$
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> - $E$ contient toutes les fonctions de **projection**
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> - $E$ contient la fonction **successeur**
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> - $E$ est **clos par composition** : $f_1, f_2, \dots, f_{p}, g \in E \implies g(f_1, \dots, f_{p}) \in E$
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> - $E$ est **clos par récurrence** : si $g\in \mathscr{F}_{p}$ et $h \in \mathscr{F}_{p+2}$ sont dans $E$ alors $f: \begin{cases} f(\overline{x}, 0) = g(\overline{x})\\ f(\overline{x}, y+1) = h(\overline{x}, y, f(\overline{x}, y)) \end{cases}$ est dans $E$
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> - i on pourra noter $f = \rho(g, h)$
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# Remarques
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> [!info] Définition par le bas
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> On peut également produire une définition "par le bas", en construisant d'abord l'ensemble $R_0$ contenant les fonctions constantes, projections et successeur, puis en posant pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
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> $R_0 = \{ \gamma \mid p \in \mathbb{N} \text{ et } \gamma \text{ est une fonction constante de } \mathbb{N}^{p} \to \mathbb{N} \} \cup \{ P_{p}^{i} \mid 1 \leq i \leq p \} \cup \{ S \}$
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> $\begin{align} R_{n+1} = R_{n} &\cup \{ h \mid h \text{ est obtenue par récurrence à partir de deux fonctions de } R_{n} \}\\ &\cup \{ h \mid h \text{ est obtenue par composition de deux fonctions de } R_{n} \} \end{align}$
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> [!info] Montrer une propriété des fonctions récursives primitives
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> - on peut montrer que cette propriété $\mathscr{P}$ est vraie sur les fonctions constantes, projections et successeur, puis montrer que $\mathscr{P}$ est stable par composition et récursion
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> - on peut montrer que $\mathscr{P}$ est vraie sur $R_0$ puis que si $\mathscr{P}$ est vraie partout sur $R_{n}$ pour un $n \in \mathbb{N}$, alors elle est aussi vraie partout sur $R_{n+1}$
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# Propriétés
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> [!proposition]+ les fonctions récursives primitives possèdent des algorithmes les calculant
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> Il existe un algorithme pour calculer chacune des fonctions récursives primitives.
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > Cela est évident :
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> > - les fonctions constantes, projections et la fonction suivant possèdent toutes des algorithmes pour les calculer
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> > - si $f_1, f_2, \dots, f_{n}$ et $g \in \mathscr{F}_{n}$ sont des fonctions récursives primitives pour lesquelles il existe un algorithme de calcul, alors il existe un algorithme pour calculer $g(f_1, f_2, \dots, f_{n})$, qui consiste à donner en entrée de l'algorithme de calcul de $g$ les résultats des algorithmes de calcul de $f_1, f_2, \dots, f_{n}$
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> > - si $g \in \mathscr{F}_{p}$ et $h \in \mathscr{F}_{p+2}$ sont deux fonctions récursives primitives pour lesquelles il existe un algorithme de calcul, alors la fonction $f \in \mathscr{F}_{p+1}$ définie par récurrence à partir de $g$ et $h$ admet également un algorithme de calcul, qui consiste en l'application du schéma de réccurence dans un algorithme :
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> > ```
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> > PROCEDURE f(x1, x2, ..., xn, y)
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> > rec <- g(x1, x2, ..., xn)
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> > FOR i <- 0 .. y:
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> > rec <- h(x1, x2, ..., xn, i, rec)
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> > END_FOR
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> > RETURN rec
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> > END_PROCEDURE
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> > ```
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> >
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> > Cela montre bien que la propriété de posséder un algorithme est vraie partout sur l'ensemble des fonctions récursives primitives
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## Fonctions élémentaires
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Dans cette section, on démontre que quelques fonctions élémentaires sont récursives primitives.
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> [!proposition]+ L'addition est récursive primitive
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> La fonction d'addition $\lambda x y. x + y$ est récursive primitive
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> - dem $\operatorname{add} = \rho(P_1^{1}, S(P_3^{3}))$
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>
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > On peut la définir par :
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> > $\begin{cases} x+0 = x\\ x+ (y+1) = (x+y) +1 \end{cases}$
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> > ---
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> > Plus formellement, l'addition peut être définie par $\rho(P_1^{1}, S(P_{3}^{3}))$
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> > $\rho(\underbracket{P_1^{1}}_{\text{cas } x+0 = 0}, \underbracket{S(P_{3}^{3})}_{\text{cas }x+(y+1) = S(x+y)})$
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> >
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^addition
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> [!proposition]+ La multiplication est récursive primitives
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> $\operatorname{mult} =\lambda xy. x \times y$ est récursive primitive
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> - dem $\operatorname{mult} = \rho(C_1^{0}, \operatorname{add}(P_3^{3}, P_{3}^{1}))$
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>
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > $\operatorname{mult} = \rho(C_1^{0}, \operatorname{add}(P_3^{3}, P_{3}^{1}))$
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> > Où $C_1^{0} = \lambda x. 0$ et $\operatorname{add}$ est la fonction d'addition définie plus haut
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> > Comme on sait déjà que $\operatorname{add}$ est récursive primitive, il suit que $\operatorname{mult}$ l'est également
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^multiplication
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> [!proposition]+ La fonction puissance est récursive primitive
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> $\operatorname{pow} = \lambda xy. x^{y}$ est récursive primitive
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> - dem $\operatorname{pow} = \rho(C_{1}^{1}, \operatorname{mult}(P_{3}^{3}, P_3^{1}))$
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^puissance
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> [!proposition]+ La soustraction positive est récursive primitve
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> On note $x \dot{-} y$ la soustraction avec un plancher à 0 :
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> $x \dot{-} y = \begin{cases} x-y \text{ si } x \geq y\\ 0 \text{ sinon} \end{cases}$
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> La fonction $\lambda xy. x \dot{-} y$ est récursive primitive.
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> > [!corollaire] Lemme : le précédent positif est récursif primitif
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> > La fonction $\lambda x. x \dot{-} 1$ est récursive primitive
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> > > [!démonstration]- Démonstration
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> > > On peut définir $\lambda x. x \dot{-} 1$ comme $\rho(C_1^{0}, P_2^{1})$
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> > > Cela montre que cette fonction est bien récursive primitive
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>
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > Notons $\operatorname{prec} = \lambda x.x \dot{-}1$. On a démontré dans le lemme précédent que cette fontion est récursive primitive.
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> > Maintenant, on peut définir $\operatorname{sub} = \lambda xy.x \dot{-} y$ comme :
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> > $\operatorname{sub} = \rho(P_1^{1}, \operatorname{prec}(P_3^{3}))$
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> [!proposition]+ La fonction signe est récursive primitive
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> On définit la [[fonction signe]] par :
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> $\operatorname{sg}: \begin{cases} \operatorname{sg}(0) = 0\\ \operatorname{sg(x) = 1 \text{ si } x \neq 0} \end{cases}$ (car on est sur $\mathbb{N}$)
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> Cette fonction est récursive primitive
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > On peut écrire $\operatorname{sg}$ de plusieurs manières :
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> > - $\operatorname{sg} = 1 \dot{-} (1 \dot{-}x)$
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> > - $\operatorname{sg} = \rho(C_0^{0}, C_2^{1})$
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> > Ce qui montre, dans tous les cas, que $\operatorname{sg}$ est récursive primitive
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> [!proposition]+ Le prédicat $x>y$ est récursif primitif
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> Le prédiat $x>y$ est récursif primitif.
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> - dem ce prédicat est équivalent à $\operatorname{sg}(x \dot{-}y)$
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## Propriétés de clôture
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> [!proposition]+ clôture par substitution de variables
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> L'ensemble des fonctions récursives primitives est **clos par substitution de variables** :
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> Soit $f \in \mathscr{F}_{p}$ récursive primitive
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> Soit $\sigma : [\![1; p]\!] \to [\![1;p]\!]$
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> Alors la fonction $\lambda x_1 x_2\dots x_{p}. f(x_{\sigma(1)}, x_{\sigma(2)}, \dots, x_{\sigma(p)})$ est aussi récursive primitive
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> - dem cette fonction est égale à $f(P_{p}^{\sigma(1)}, P_{p}^{\sigma(2)}, \dots, P_{p}^{\sigma(p)})$
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## Schémas de définition supplémentaires
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On peut trouver de nouveaux schémas de définitions de fonctions qui sont stables sur les fonctions récursives primitives.
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# Exemples
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