cours/fonction lipschitzienne.md

up::fonction title::"$\big|f(x)-f(y)\big| \leq k|x-y|$" #s/maths/analyse

[!definition] fonction lipschitzienne Sur un espace métrique (X, d) Une fonction f : X \to \mathbb{R} est dite lipschitzienne de rapport k > 0 quand :

\boxed{|f(x) - f(y)| \leq k \cdot d(x, y)}

^definition

> [!definition] Définition sur $\mathbb{R}$
> Soit $I \subset \mathbb{R}$ in [[intervalle]]
> Soit $f : I \mapsto \mathbb{R}$
> On dit que $f$ est **lipschitzienne** de *rapport* $k>0$ ssi
> pour tout $(x, y) \in I^{2}$ :
> $$|f(x)-f(y)| \leq k|x -y|$$
> 
^definition-sur-R


# Propriétés

- Une fonction lipschitzienne de *rapport* $k < 1$ est une [[fonction contractante]]
- Toutes les fonctions de [[classe d'une fonction|classe]] $C^{1}$ sont globalement lipschitzienne