up::[[fonction]]
title::"$\big|f(x)-f(y)\big| \leq k|x-y|$"
#s/maths/analyse

> [!definition] [[fonction lipschitzienne]]
> Sur un [[espace métrique]]  $(X, d)$
> Une fonction $f : X \to \mathbb{R}$ est dite **lipschitzienne** de rapport $k > 0$ quand :
> $$
\boxed{|f(x) - f(y)| \leq  k \cdot d(x, y)}
$$
^definition

> [!definition] Définition sur $\mathbb{R}$
> Soit $I \subset \mathbb{R}$ in [[intervalle]]
> Soit $f : I \mapsto \mathbb{R}$
> On dit que $f$ est **lipschitzienne** de *rapport* $k>0$ ssi
> pour tout $(x, y) \in I^{2}$ :
> $$|f(x)-f(y)| \leq k|x -y|$$
> 
^definition-sur-R


# Propriétés

- Une fonction lipschitzienne de *rapport* $k < 1$ est une [[fonction contractante]]
- Toutes les fonctions de [[classe d'une fonction|classe]] $C^{1}$ sont globalement lipschitzienne