cours/fonction récursive primitive.md

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	s/maths s/informatique	fonctions récursives primitives

[!definition] fonction récursive primitive On définit par induction l'ensemble des fonctions récursives primitives comme suit :

[!definition] ensembles \mathscr{F}_{p} et \mathscr{F} Soit p \in \mathbb{N} on note \mathscr{F}_{p} l'ensemble des applications de \mathbb{N}^{p} \to \mathbb{N} (par convention, \mathscr{F}_{0} ne contient que la suite vide) On note \displaystyle\mathscr{F} = \bigcup _{p \in \mathbb{N}} \mathscr{F}_{p}

[!definition] Fonctions projection On note P_{p}^{i} (pour 1 \leq i \leq p) la fonction de \mathscr{F}_{p} telle que pour tout x_1, \dots, x_{p} \in \mathbb{N} on a : P_{p}^{i}(x_1, x_2, \dots, x_{p}) = x_{i}

[!definition] fonction successeur On note S la fonction de \mathscr{F}_{1} qui à chaque entier n fait correspondre n+1 : S = \lambda x. x+1

[!definition] Définition par récurrence Soient f \in \mathscr{F}_{p} et g \in \mathscr{F}_{p+2}, il existe une unique fonction de \mathscr{F}_{p+1} qui, pour tout x_1, \dots, x_{p}, y \in \mathbb{N} respecte :

• f(x_1, x_2, \dots, x_{p}, 0) = g(x_1, x_2, \dots, x_{p})
• f(x_1, x_2, \dots, x_{p}, y+1) = h(x_1, x_2, \dots, x_{p}, y, f(x_1, x_2, \dots, x_{p}, y))

L'ensemble des fonctions récursives primitives est alors le plus petit des sous ensembles E de \mathscr{F} tel que :

• E contient toutes les fonctions constantes de \mathscr{F}
• E contient toutes les projections P_{p}^{i} pour tous les entiers p et i avec 1 \leq i \leq p
• E contient la fonction successeur S
• E est clos par composition, c'est-à-dire que si n et p sont des entiers, si f_1, f_2, \dots, f_{n} sont des fonctions de \mathscr{F}_{p} qui sont aussi dans E, et si g \in \mathscr{F}_{n} est aussi dans E, alors la fonction composée g(f_1, f_2, \dots, f_{n}) appartient à E

^definition

[!definition] Définition courte Soient \mathscr{F}_{p} := \mathbb{N}^{(\mathbb{N}^{p})} (pour p \in \mathbb{N}) et \displaystyle\mathscr{F} = \bigcup _{p \in \mathbb{N}}\mathscr{F}_{p} En notant P_{p}^{i} la fonction de \mathscr{F}_{p} telle que P_{p}^{i}(x_1, \dots, x_{p}) = x_{i} (pour 1 \leq i \leq p dans \mathbb{N}) En notant S la fonction suivant : S(x) = x+1 (sur \mathbb{N}) En notant C_{p}^{v} L'ensemble des fonctions récursives primitives est alors le plus petit des sous ensembles E de \mathscr{F} tel que :

• E contient toutes les fonctions constantes de \mathscr{F}
• P_{p}^{i} \in E
• E contient la fonction successeur S
• E est clos par composition, c'est-à-dire que si n et p sont des entiers, si f_1, f_2, \dots, f_{n} sont des fonctions de \mathscr{F}_{p} qui sont aussi dans E, et si g \in \mathscr{F}_{n} est aussi dans E, alors la fonction composée g(f_1, f_2, \dots, f_{n}) appartient à E

Propriétés

Exemples