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  - fonctions récursives primitives
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> [!definition] [[fonction récursive primitive]]
> On définit par [[induction]] l'ensemble des fonctions récursives primitives comme suit :
> > [!definition] ensembles $\mathscr{F}_{p}$ et $\mathscr{F}$
> > Soit $p \in \mathbb{N}$ on note $\mathscr{F}_{p}$ l'ensemble des applications de $\mathbb{N}^{p} \to \mathbb{N}$ (par convention, $\mathscr{F}_{0}$ ne contient que la suite vide)
> > On note $\displaystyle\mathscr{F} = \bigcup _{p \in \mathbb{N}} \mathscr{F}_{p}$
>    
> > [!definition] Fonctions projection
> > On note $P_{p}^{i}$ (pour $1 \leq i \leq p$) la fonction de $\mathscr{F}_{p}$ telle que pour tout $x_1, \dots, x_{p} \in \mathbb{N}$ on a :
> > $P_{p}^{i}(x_1, x_2, \dots, x_{p}) = x_{i}$
> 
> > [!definition] fonction successeur
> > On note $S$ la fonction de $\mathscr{F}_{1}$ qui à chaque entier $n$ fait correspondre $n+1$ :
> > $S = \lambda x. x+1$
> 
> > [!definition] Définition par récurrence
> > Soient $f \in \mathscr{F}_{p}$ et $g \in \mathscr{F}_{p+2}$, il existe une unique fonction de $\mathscr{F}_{p+1}$ qui, pour tout $x_1, \dots, x_{p}, y \in \mathbb{N}$ respecte :
> >  - $f(x_1, x_2, \dots, x_{p}, 0) = g(x_1, x_2, \dots, x_{p})$
> >  - $f(x_1, x_2, \dots, x_{p}, y+1) = h(x_1, x_2, \dots, x_{p}, y, f(x_1, x_2, \dots, x_{p}, y))$
> 
> L'ensemble des **fonctions récursives primitives** est alors le plus petit des sous ensembles $E$ de $\mathscr{F}$ tel que :
>  - $E$ contient toutes les fonctions constantes de $\mathscr{F}$
>  - $E$ contient toutes les projections $P_{p}^{i}$ pour tous les entiers $p$ et $i$ avec $1 \leq i \leq p$
>  - $E$ contient la fonction successeur $S$
>  - $E$ est clos par composition, c'est-à-dire que si $n$ et $p$ sont des entiers, si $f_1, f_2, \dots, f_{n}$ sont des fonctions de $\mathscr{F}_{p}$ qui sont aussi dans $E$, et si $g \in \mathscr{F}_{n}$ est aussi dans $E$, alors la fonction composée $g(f_1, f_2, \dots, f_{n})$ appartient à E
> 
^definition

> [!definition] Définition courte
> Soient $\mathscr{F}_{p} := \mathbb{N}^{(\mathbb{N}^{p})}$ (pour $p \in \mathbb{N}$) et $\displaystyle\mathscr{F} = \bigcup _{p \in \mathbb{N}}\mathscr{F}_{p}$ 
> En notant $P_{p}^{i}$ la fonction de $\mathscr{F}_{p}$ telle que $P_{p}^{i}(x_1, \dots, x_{p}) = x_{i}$ (pour $1 \leq i \leq p$ dans $\mathbb{N}$)
> En notant $S$ la fonction suivant : $S(x) = x+1$  (sur $\mathbb{N}$)
> En notant $C_{p}^{v}$
> L'ensemble des **fonctions récursives primitives** est alors le plus petit des sous ensembles $E$ de $\mathscr{F}$ tel que :
>  - $E$ contient toutes les fonctions constantes de $\mathscr{F}$
>  - $P_{p}^{i} \in E$ 
>  - $E$ contient la fonction successeur $S$
>  - $E$ est clos par composition, c'est-à-dire que si $n$ et $p$ sont des entiers, si $f_1, f_2, \dots, f_{n}$ sont des fonctions de $\mathscr{F}_{p}$ qui sont aussi dans $E$, et si $g \in \mathscr{F}_{n}$ est aussi dans $E$, alors la fonction composée $g(f_1, f_2, \dots, f_{n})$ appartient à E
> 

# Propriétés

# Exemples