oskar
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- "[[ensemble]]"
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tags:
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- s/maths/logique
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aliases:
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Cette théorie ne se base pas sur des ensembles directement, mais sur des **classes**.
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Les classes sont caractérisées par $\in$, autrement dit une classe est définie par le prédicat indiquant ce qu'elle contient.
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# Définitions et Axiomes
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> [!definition] Classe
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> Une classe $C$ est un objet caractérisé par sa relation d'appartenance, c'est-à-dire que pour tout objet $x$ on pourra dire si $x \in C$ ou non.
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^def-classe
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> [!proposition]+ Axiome d'extentionnalité
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> Deux choses contenant les mêmes éléments sont égales.
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> Autrement dit, $C_1 = C_2$ si et seulement si $\forall x,\quad x \in C_1 \iff x \in C_2$
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^ax-extentionnalite
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> [!definition] Inclusion
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> La relation d'inclusion, notée $\subseteq$ est définie par :
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> $C_1 \subseteq C_2 \iff \text{pour toute classe } X \text{ avec } X \in C_1 \text{ on a } X\in C_2$
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^def-inclusion
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> [!definition] Ensemble
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> Une classe $A$ est un **ensemble** s'il existe une classe $C$ telle que $A \in C$.
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> - i l'axiome d'extentionnalité s'applique également sur les ensembles
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^def-ensemble
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> [!definition] Union et Intersection
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> Soient $C_1$ et $C_2$ deux classes
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> - $C_1 \cup C_2$ est une classe dont les éléments sont les $X$ qui appartiennent à $C_1$ ou à $C_2$
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> - $C_1 \cap C_2$ est une classe dont les éléments sont les $X$ qui appartiennent à $C_1$ et à $C_2$
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> - i on sait par l'axiome d'extentionnalité que $C_1 \cup C_2$ et $C_1 \cap C_2$ sont uniquement déterminés par ces définitions
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^def-union-intersection
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> [!definition] Complémentaire
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> Soit $C$ une classe
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> $C^{\complement}$ est la classe qui a pour éléments les $X$ tels que $X \notin C$
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> - i on sait par l'axiome d'extentionnalité que $C^{\complement}$ est uniquement déterminé par ces définitions
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>
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^def-complementaire
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> [!proposition]+ Axiome d'intersection
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> Si $x$ est un ensemble, si $C$ est une classe, alors $x \cap C$ est un ensemble
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> - i Par conséquence, si une classe $C$ est contenue dans un ensemble $A$, alors $C$ est un ensemble aussi.
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> - dem car $C \subseteq A$ entraine $C = C \cap A$
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^ax-intersection
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> [!proposition]+ Axiome de la paire
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> Si $x$ et $y$ sont des ensemble, alors il existe un ensemble dont les seuls éléments sont $x$ et $y$.
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> - i par l'axiome d'extentionnalité, on sait qu'il n'existe qu'un seul tel ensemble, que l'on note $\{ x, y \}$
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> - i si $x = y$ on note simplement $\{ x \}$, c'est un **singleton**
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>
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> > [!proposition]+ Construction des couples (Kuratowski)
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> > Si $x$ et $y$ sont des ensembles, on pose :
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> > $(x, y) = \{ \{ x \}, \{ x, y \} \}$
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^ax-paire
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> [!proposition]+ égalité sur les couples
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> Soient $x, y, x', y'$ des ensembles
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> $(x, y) = (x', y') \iff x=x' \wedge y=y'$
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > - $\boxed{\implies}$ Supposons que $x=x'$ et $y=y'$, on a alors $\{ x, y \} = \{ x', y' \}$ et $\{ x \} = \{ x' \}$ par l'axiome d'extension.
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> > Alors, à nouveau par extentionnalité, on a $\{ \{ x \}, \{ x, y \} \} = \{ \{ x' \}, \{ x', y' \} \}$
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> > - $\boxed{\impliedby}$ Supposons réciproquement que $(x, y) = (x', y')$
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> > On a alors : $\{ \{ x \}, \{ x, y \} \} = \{ \{ x' \}, \{ x', y' \} \}$
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> > Il suit par extension que l'un des cas suivants est réalisé :
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> > - soit $\{ x \} = \{ x' \}$ et $\{ x, y \} = \{ x', y' \}$
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> > dans ce cas, on a $x=x'$ par extension, et de là il est évident aussi que $y = y'$
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> > - soit $\{ x \} = \{ x', y' \}$ et $\{ x, y \} = \{ x' \}$
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> > dans ce cas on sait que l'on doit avoir $x=y$ et $x'=y'$, et on en déduit $\{ x \} = x'$ et $y=y'$
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> > Les autres cas peuvent être éliminés par extentionnalité.
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> [!proposition]+ n-uplets
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> On peut construire les triplets, quadruplets etc. à partir des couples :
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> - $(x, y, z) = ((x, y), z)$
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> - $(x, y, z, w) = (((x, y), z), w)$
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> - $\vdots$
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> [!proposition]+ Axiome : graphe de la relation $\in$
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> Il existe une classe $E$ telle que pour tous les ensemble $x, y$ on a $(x, y) \in E$ si et seulement si $x \in y$.
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> $\boxed{(x, y) \in E \iff x \in y}$
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> $E$ est le **graphe** de la relation $\in$
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> [!proposition]+ Axiome : existence du domaine
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> Si $C$ est une classe, il existe une classe notée $\operatorname{dom}(C)$ telle que pour tout ensemble $x$ on aie $x \in \operatorname{dom}(C)$ si et seulement s'il existe un ensemble $y$ tel que $(x, y) \in C$.
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> $\boxed{x \in \operatorname{dom}(C) \iff \exists y \text{ ensemble},\quad (x, y) \in C}$
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> - i On dit que $\operatorname{dom}(C)$ est le **domaine** de $C$
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^ax-domaine
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> [!proposition]+ Axiome : existence du codomaine
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> Si $C$ est une classe, il existe une classe notée $\operatorname{codom}(C)$ telle que pour tout ensemble $y$ on aie $y \in \operatorname{codom}(C)$ si et seulement s'il existe un ensemble $x$ tel que $(x, y) \in C$.
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> $\boxed{y \in \operatorname{codom}(C) \iff \exists x \text{ ensemble},\quad (x, y) \in C}$
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> - i On dit que $\operatorname{codom}(C)$ est le **codomaine** de $C$
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^ax-codomaine
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> [!proposition]+ Axiome : existence d'une classe de domaine $C$
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> Si $C$ est une classe, il existe une classe $C'$ dont $C$ est le domaine ($\operatorname{dom}(C') = C$), autrement dit :
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> il existe une classe $C'$ telle que $\forall y \text{ ensemble},\quad (x, y) \in C' \iff x \in C$
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^ax-de-domaine
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> [!proposition]+ Axiome : existence d'une classe de codomaine $C$
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> Si $C$ est une classe, il existe une classe $C'$ dont $C$ est le codomaine ($\operatorname{codom}(C') = C$), autrement dit :
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> il existe une classe $C'$ telle que $\forall x \text{ ensemble},\quad (x, y) \in C'$
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^ax-de-codomaine
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> [!proposition]+ Axiome : permutation des triplets
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> Soit $C$ une classe, alors :
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> - il existe une classe $D$ telle que pour tous les ensembles $x, y, z$ on aie $(x, y, z) \in D \iff (y, x, z) \in C$
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> - il existe une classe $D'$ telle que pour tout les ensemble $x, y, z$ on aie $(x, y, z) \in D' \iff (x, z, y) \in C$
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> - i ces classes ne sont pas uniquement déterminées par l'axiome d'extension, car leurs "définitions" prescrivent uniquement leurs couples ou trouples.
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> [!proposition]+ Axiome : classe vide
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> Il existe une et une seule classe qui n'a aucun élément.
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> ON dit que c'est la classe vide et on la note $\emptyset$
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