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Cette théorie ne se base pas sur des ensembles directement, mais sur des **classes**.
Les classes sont caractérisées par $\in$, autrement dit une classe est définie par le prédicat indiquant ce qu'elle contient.

# Définitions et Axiomes
> [!definition] Classe
> Une classe $C$ est un objet caractérisé par sa relation d'appartenance, c'est-à-dire que pour tout objet $x$ on pourra dire si $x \in C$ ou non.
^def-classe

> [!proposition]+ Axiome d'extentionnalité
> Deux choses contenant les mêmes éléments sont égales.
> Autrement dit, $C_1 = C_2$ si et seulement si $\forall x,\quad x \in C_1 \iff x \in C_2$
^ax-extentionnalite

> [!definition] Inclusion
> La relation d'inclusion, notée $\subseteq$ est définie par :
> $C_1 \subseteq C_2 \iff \text{pour toute classe } X \text{ avec } X \in C_1 \text{ on a } X\in C_2$
^def-inclusion

> [!definition] Ensemble
> Une classe $A$ est un **ensemble** s'il existe une classe $C$ telle que $A \in C$.
> - i l'axiome d'extentionnalité s'applique également sur les ensembles
^def-ensemble

> [!definition] Union et Intersection
> Soient $C_1$ et $C_2$ deux classes
> - $C_1 \cup C_2$ est une classe dont les éléments sont les $X$ qui appartiennent à $C_1$ ou à $C_2$
> - $C_1 \cap C_2$ est une classe dont les éléments sont les $X$ qui appartiennent à $C_1$ et à $C_2$
> - i on sait par l'axiome d'extentionnalité que $C_1 \cup C_2$ et $C_1 \cap C_2$ sont uniquement déterminés par ces définitions
^def-union-intersection

> [!definition] Complémentaire
> Soit $C$ une classe
> $C^{\complement}$ est la classe qui a pour éléments les $X$ tels que $X \notin C$
> - i on sait par l'axiome d'extentionnalité que $C^{\complement}$ est uniquement déterminé par ces définitions
>   
^def-complementaire 

> [!proposition]+ Axiome d'intersection
> Si $x$ est un ensemble, si $C$ est une classe, alors $x \cap C$ est un ensemble
> - i Par conséquence, si une classe $C$ est contenue dans un ensemble $A$, alors $C$ est un ensemble aussi.
>     - dem car $C \subseteq A$ entraine $C = C \cap A$
^ax-intersection

> [!proposition]+ Axiome de la paire
> Si $x$ et $y$ sont des ensemble, alors il existe un ensemble dont les seuls éléments sont $x$ et $y$.
> - i par l'axiome d'extentionnalité, on sait qu'il n'existe qu'un seul tel ensemble, que l'on note $\{ x, y \}$
> - i si $x = y$ on note simplement $\{ x \}$, c'est un **singleton**
> 
> > [!proposition]+ Construction des couples (Kuratowski)
> > Si $x$ et $y$ sont des ensembles, on pose :
> > $(x, y) = \{ \{ x \}, \{ x, y \} \}$
^ax-paire

> [!proposition]+ égalité sur les couples
> Soient $x, y, x', y'$ des ensembles
> $(x, y) = (x', y') \iff x=x' \wedge y=y'$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > - $\boxed{\implies}$ Supposons que $x=x'$ et $y=y'$, on a alors $\{ x, y \} = \{ x', y' \}$ et $\{ x \} = \{ x' \}$ par l'axiome d'extension.
> >   Alors, à nouveau par extentionnalité, on a $\{ \{ x \}, \{ x, y \} \} = \{ \{ x' \}, \{ x', y' \} \}$
> > - $\boxed{\impliedby}$ Supposons réciproquement que $(x, y) = (x', y')$
> >   On a alors : $\{ \{ x \}, \{ x, y \} \} = \{ \{ x' \}, \{ x', y' \} \}$
> >   Il suit par extension que l'un des cas suivants est réalisé :
> >   - soit $\{ x \} = \{ x' \}$ et $\{ x, y \} = \{ x', y' \}$
> >     dans ce cas, on a $x=x'$ par extension, et de là il est évident aussi que $y = y'$
> >   - soit $\{ x \} = \{ x', y' \}$ et $\{ x, y \} = \{ x' \}$
> >     dans ce cas on sait que l'on doit avoir $x=y$ et $x'=y'$, et on en déduit $\{ x \} = x'$ et $y=y'$
> >   Les autres cas peuvent être éliminés par extentionnalité.

> [!proposition]+ n-uplets
> On peut construire les triplets, quadruplets etc. à partir des couples :
> - $(x, y, z) = ((x, y), z)$
> - $(x, y, z, w) = (((x, y), z), w)$
> - $\vdots$ 

> [!proposition]+ Axiome : graphe de la relation $\in$
> Il existe une classe $E$ telle que pour tous les ensemble $x, y$ on a $(x, y) \in E$ si et seulement si $x \in y$.
> $\boxed{(x, y) \in E \iff x \in y}$
> $E$ est le **graphe** de la relation $\in$

> [!proposition]+ Axiome : existence du domaine
> Si $C$ est une classe, il existe une classe notée $\operatorname{dom}(C)$ telle que pour tout ensemble $x$ on aie $x \in \operatorname{dom}(C)$ si et seulement s'il existe un ensemble $y$ tel que $(x, y) \in C$.
> $\boxed{x \in \operatorname{dom}(C) \iff \exists y \text{ ensemble},\quad (x, y) \in C}$
> - i On dit que $\operatorname{dom}(C)$ est le **domaine** de $C$
^ax-domaine

> [!proposition]+ Axiome : existence du codomaine
> Si $C$ est une classe, il existe une classe notée $\operatorname{codom}(C)$ telle que pour tout ensemble $y$ on aie $y \in \operatorname{codom}(C)$ si et seulement s'il existe un ensemble $x$ tel que $(x, y) \in C$.
> $\boxed{y \in \operatorname{codom}(C) \iff \exists x \text{ ensemble},\quad (x, y) \in C}$
> - i On dit que $\operatorname{codom}(C)$ est le **codomaine** de $C$
^ax-codomaine

> [!proposition]+ Axiome : existence d'une classe de domaine $C$
> Si $C$ est une classe, il existe une classe $C'$ dont $C$ est le domaine ($\operatorname{dom}(C') = C$), autrement dit :
> il existe une classe $C'$ telle que $\forall y \text{ ensemble},\quad (x, y) \in C' \iff x \in C$
^ax-de-domaine

> [!proposition]+ Axiome : existence d'une classe de codomaine $C$
> Si $C$ est une classe, il existe une classe $C'$ dont $C$ est le codomaine ($\operatorname{codom}(C') = C$), autrement dit :
> il existe une classe $C'$ telle que $\forall x \text{ ensemble},\quad (x, y) \in C'$
^ax-de-codomaine

> [!proposition]+ Axiome : permutation des triplets
> Soit $C$ une classe, alors :
> - il existe une classe $D$ telle que pour tous les ensembles $x, y, z$ on aie $(x, y, z) \in D \iff (y, x, z) \in C$
> - il existe une classe $D'$ telle que pour tout les ensemble $x, y, z$ on aie $(x, y, z) \in D' \iff (x, z, y) \in C$
> - i ces classes ne sont pas uniquement déterminées par l'axiome d'extension, car leurs "définitions" prescrivent uniquement leurs couples ou trouples.

> [!proposition]+ Axiome : classe vide
> Il existe une et une seule classe qui n'a aucun élément.
> ON dit que c'est la classe vide et on la note $\emptyset$