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aliases:
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- variables aléatoires réelles
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up:: [[variable aléatoire]]
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title:: "application de $\Omega \to \mathbb{R}$"
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#s/maths/probabilités
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> [!definition] Variable aléatoire réelle
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> Soit $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ un [[espace probabilisé]]
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> Une **variable aléatoire réelle** (v.a.r.) est une application
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> $X : \Omega \to \mathbb{R}$ mesurable de $\mathcal{A} \to \mathcal{B}(\mathbb{R})$
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> c'est-à-dire :
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> $\forall B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}),\quad X^{-1}(B)\in \mathcal{A}$
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^definition
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> [!info] Notation
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> Si $B \in \mathcal{B(\mathbb{R})}$
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> $\{ X \in B \} = X^{-1}(B) = \{ w \in \Omega \mid X(\omega) \in B \}$
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>
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> $\mathbb{P}(X = 3)= \mathbb{P}(\{ X = 3 \}) = \mathbb{P}(X^{-1}(\{ 3 \}))$
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> [!definition] Explication
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> Soit $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ un [[espace probabilisé]]
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> Soit $X : \Omega \to \mathbb{R}$ une **variable aléatoire réelle**
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>
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> Soit $\mathcal{B} \subset X(\Omega)$ un ensemble de "*résultats possibles*"
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> On cherche "*la probabilité des événements qui induisent $\mathcal{B}$*" :
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> $\mathbb{P}(X ^{-1}(\mathcal{B})) = \mathbb{P}(X(\omega \in \mathcal{B})) = \mathbb{P}(X \in \mathcal{B})$
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```breadcrumbs
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title: "Sous-notes"
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type: tree
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show-attributes: [field]
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field-groups: [downs]
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depth: [0, 0]
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