---
aliases:
  - variables aléatoires réelles
---
up:: [[variable aléatoire]]
title:: "application de $\Omega \to \mathbb{R}$"
#s/maths/probabilités 

> [!definition] Variable aléatoire réelle
> Soit $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ un [[espace probabilisé]]
> Une **variable aléatoire réelle** (v.a.r.) est une application
> $X : \Omega \to \mathbb{R}$  mesurable de $\mathcal{A} \to \mathcal{B}(\mathbb{R})$
> c'est-à-dire :
> $\forall B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}),\quad X^{-1}(B)\in \mathcal{A}$
^definition

> [!info] Notation
> Si $B \in \mathcal{B(\mathbb{R})}$
> $\{ X \in B \} = X^{-1}(B) = \{ w \in \Omega \mid X(\omega) \in B \}$
> 
> --- 
> $\mathbb{P}(X = 3)= \mathbb{P}(\{ X = 3 \}) = \mathbb{P}(X^{-1}(\{ 3 \}))$

> [!definition] Explication
> Soit $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ un [[espace probabilisé]]
> Soit $X : \Omega \to \mathbb{R}$ une **variable aléatoire réelle**
> 
> Soit $\mathcal{B} \subset X(\Omega)$ un ensemble de "*résultats possibles*"
> On cherche "*la probabilité des événements qui induisent $\mathcal{B}$*" : 
> $\mathbb{P}(X ^{-1}(\mathcal{B})) = \mathbb{P}(X(\omega \in \mathcal{B})) = \mathbb{P}(X \in \mathcal{B})$

```breadcrumbs
title: "Sous-notes"
type: tree
collapse: false
show-attributes: [field]
field-groups: [downs]
depth: [0, 0]
```