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up: "[[groupe]]"
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down: "[[produit direct de groupes abéliens]]"
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tags: "#s/maths/algèbre"
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> [!definition] [[produit direct de groupes]]
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> Soient $(G, *_{G})$ et $(H, *_{H})$ deux [[groupe|groupes]]
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> L'ensemble $G \times H = \{ (g, h) \mid g \in G \wedge h \in H \}$
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> muni de la loi $*$ définie par $(g, h) * (g', h') = (g*_{G}g', h*_{H}h')$
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> est tel que $(G\times H, *)$ est aussi un [[groupe]]
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> - dont le neutre est $e_{G\times H} = (e_{G}, e_{H})$
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> - dans lequel l'inverse de $(g, h) \in G\times H$ est $(g, h)^{-1} = (g^{-1}, h^{-1})$
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> [[démonstration le produit de groupes reste un groupe|démonstration]]
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^definition
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> [!idea] Intuition
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> Le produit cartésien préserve la structure de groupe
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> [!info] Groupe puissance
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> Soit $G$ un [[groupe]]
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> On definit par récurrence le groupe $G^{n} = \underbrace{G \times \cdots \times G}_{n \text{ fois}}$
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# Exemples
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> [!example] $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mu _{4}(\mathbb{C})$
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> $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mu _{4}(\mathbb{C})$ est un groupe pour la loi $*$ suivante :
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> $(\overline{k}, \zeta)*(\overline{k'}, \zeta') = (\overline{k}+\overline{k'}, \zeta \zeta')$
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> > Note : $\mu _{4}(\mathbb{C}) = \{ -1; 1; -i; i \}$
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> [!example] $\mathbb{R}^{*}\times \mathbb{R}$
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> $\mathbb{R}^{*}\times \mathbb{R}$ est un groupe pour la loi $*$ donnée par :
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> $(a, b)*(a', b') = (aa', b+b')$
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