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up: "[[groupe]]"
down: "[[produit direct de groupes abéliens]]"
tags: "#s/maths/algèbre"
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> [!definition] [[produit direct de groupes]]
> Soient $(G, *_{G})$ et $(H, *_{H})$ deux [[groupe|groupes]]
> L'ensemble $G \times H = \{ (g, h) \mid g \in G \wedge h \in H \}$
> muni de la loi $*$ définie par $(g, h) * (g', h') = (g*_{G}g', h*_{H}h')$
> est tel que $(G\times H, *)$ est aussi un [[groupe]]
> - dont le neutre est $e_{G\times H} = (e_{G}, e_{H})$ 
> - dans lequel l'inverse de $(g, h) \in G\times H$ est $(g, h)^{-1} = (g^{-1}, h^{-1})$
> [[démonstration le produit de groupes reste un groupe|démonstration]]
^definition

> [!idea] Intuition
> Le produit cartésien préserve la structure de groupe

> [!info] Groupe puissance
> Soit $G$ un [[groupe]]
> On definit par récurrence le groupe $G^{n} = \underbrace{G \times \cdots \times G}_{n \text{ fois}}$

# Exemples

> [!example] $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mu _{4}(\mathbb{C})$
> $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mu _{4}(\mathbb{C})$ est un groupe pour la loi $*$ suivante :
> $(\overline{k}, \zeta)*(\overline{k'}, \zeta') = (\overline{k}+\overline{k'}, \zeta \zeta')$
> > Note : $\mu _{4}(\mathbb{C}) = \{ -1; 1; -i; i \}$


> [!example] $\mathbb{R}^{*}\times \mathbb{R}$
> $\mathbb{R}^{*}\times \mathbb{R}$ est un groupe pour la loi $*$ donnée par :
> $(a, b)*(a', b') = (aa', b+b')$