59 lines
2.4 KiB
Markdown
59 lines
2.4 KiB
Markdown
---
|
|
aliases:
|
|
- mesures de probabilités
|
|
---
|
|
up:: [[mesure positive d'une application|mesure]], [[espace probabilisé]]
|
|
sibling:: [[loi de probabilités]]
|
|
#s/maths/intégration
|
|
|
|
> [!definition] [[mesure de probabilité]]
|
|
> Soit $(E, \mathcal{A})$ un [[espace mesurable]]
|
|
> $\mu$ est une mesure de probabilité sur $E$ si :
|
|
> - $\mu$ est positive
|
|
> - $\mu(E) = 1$
|
|
^definition
|
|
|
|
```breadcrumbs
|
|
title: "Sous-notes"
|
|
type: tree
|
|
collapse: false
|
|
show-attributes: [field]
|
|
field-groups: [downs]
|
|
depth: [0, 0]
|
|
```
|
|
# Propriétés
|
|
|
|
> [!proposition]+ Propriétés ensemblistes
|
|
> Soit $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ un [[espace probabilisé]]
|
|
> $\forall A, B \in \mathcal{A}$
|
|
> - $\mathbb{P}(\emptyset) = 0$
|
|
> - $A \cap B = \emptyset \implies \mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B)$
|
|
> - $\mathbb{P}(A^{\complement}) = 1 - \mathbb{P}(A)$
|
|
> - $A \subset B \implies \mathbb{P}(A) \leq \mathbb{P}(B)$
|
|
> - $\mathbb{P}(A \setminus B) = \mathbb{P}(A) - \mathbb{P}(A \cap B)$
|
|
|
|
> [!proposition]+ Probabilité d'une union
|
|
> Soit $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ un [[espace probabilisé]]
|
|
> $\forall A, B \in \mathcal{A}$
|
|
> - $\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B)$
|
|
> $\forall A, B, C \in \mathcal{A}$
|
|
> - $\mathbb{P}(A \cup B \cup C) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) + \mathbb{P}(C) - \mathbb{P}(A \cap B) - \mathbb{P}(A \cap C) - \mathbb{P}(B \cap C) + \mathbb{P}(A \cap B \cap C)$
|
|
> $\forall A_1, A_2, \dots, A_{n} \in \mathcal{A}$
|
|
> - $\displaystyle \mathbb{P}\left( \bigcup _{i = 1}^{n} A_{i} \right) = \sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^{k+1} \sum\limits_{1 \leq i_1 < i_2 < \dots < i_{k} \leq n} \mathbb{P}(A_{i_{1}} \cap \cdots \cap A_{i_{k}})$
|
|
|
|
> [!proposition]+ continuité séquentielle monotone
|
|
> Soit $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ un [[espace probabilisé]]
|
|
> Si $(A_{n}) \in \mathcal{A}^{\mathbb{N}}$ est une suite croissante, i.e. $\forall n\geq 0,\quad A_{n} \subset A_{n+1}$
|
|
> Alors $(\mathbb{P}(A_{n}))_{n \geq 0}$ [[suite convergente|converge]] et :
|
|
> $\lim\limits_{ n \to \infty } \mathbb{P}(A_{n}) = \mathbb{P} \left( \bigcup _{n \geq 0} A_{n} \right)$
|
|
>
|
|
> ---
|
|
> Si $(B_{n})_{n \geq 0} \in \mathcal{A}^{\mathbb{N}}$ est décroissante, i.e. $\forall n \geq 0,\quad B_{n+1} \subset B_{n}$
|
|
> Alors $(\mathbb{P}(B_{n}))_{n \geq 0}$ [[suite convergente|converge]] et :
|
|
> $\lim\limits_{ n \to \infty }\mathbb{P}(B_{n}) = \mathbb{P}\left( \bigcap_{n\geq 0} B_{n} \right)$
|
|
|
|
|
|
|
|
# Exemples
|
|
|