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aliases:
  - mesures de probabilités
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up:: [[mesure positive d'une application|mesure]], [[espace probabilisé]]
sibling:: [[loi de probabilités]]
#s/maths/intégration 

> [!definition] [[mesure de probabilité]]
> Soit $(E, \mathcal{A})$ un [[espace mesurable]]
> $\mu$ est une mesure de probabilité sur $E$ si :
>  - $\mu$ est positive
>  - $\mu(E) = 1$
^definition

```breadcrumbs
title: "Sous-notes"
type: tree
collapse: false
show-attributes: [field]
field-groups: [downs]
depth: [0, 0]
```
# Propriétés

> [!proposition]+ Propriétés ensemblistes
> Soit $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ un [[espace probabilisé]]
> $\forall A, B \in \mathcal{A}$
>  - $\mathbb{P}(\emptyset) = 0$
>  - $A \cap B = \emptyset \implies \mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B)$
>  - $\mathbb{P}(A^{\complement}) = 1 - \mathbb{P}(A)$
>  - $A \subset B \implies \mathbb{P}(A) \leq \mathbb{P}(B)$
>  - $\mathbb{P}(A \setminus B) = \mathbb{P}(A) - \mathbb{P}(A \cap B)$

> [!proposition]+ Probabilité d'une union
> Soit $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ un [[espace probabilisé]]
> $\forall A, B \in \mathcal{A}$
>  - $\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B)$
> $\forall A, B, C \in \mathcal{A}$
>  - $\mathbb{P}(A \cup B \cup C) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) + \mathbb{P}(C) - \mathbb{P}(A \cap B) - \mathbb{P}(A \cap C) - \mathbb{P}(B \cap C) + \mathbb{P}(A \cap B \cap C)$
> $\forall A_1, A_2, \dots, A_{n} \in \mathcal{A}$
>  - $\displaystyle \mathbb{P}\left( \bigcup _{i = 1}^{n} A_{i} \right) = \sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^{k+1} \sum\limits_{1 \leq i_1 < i_2 < \dots < i_{k} \leq n} \mathbb{P}(A_{i_{1}} \cap \cdots \cap A_{i_{k}})$

> [!proposition]+ continuité séquentielle monotone
> Soit $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ un [[espace probabilisé]]
> Si $(A_{n}) \in \mathcal{A}^{\mathbb{N}}$ est une suite croissante, i.e. $\forall n\geq 0,\quad A_{n} \subset A_{n+1}$
> Alors $(\mathbb{P}(A_{n}))_{n \geq 0}$ [[suite convergente|converge]] et :
> $\lim\limits_{ n \to \infty } \mathbb{P}(A_{n}) = \mathbb{P} \left(  \bigcup _{n \geq 0} A_{n}  \right)$
> 
> ---
> Si $(B_{n})_{n \geq 0} \in \mathcal{A}^{\mathbb{N}}$ est décroissante, i.e. $\forall n \geq 0,\quad B_{n+1} \subset B_{n}$
> Alors $(\mathbb{P}(B_{n}))_{n \geq 0}$ [[suite convergente|converge]] et :
> $\lim\limits_{ n \to \infty }\mathbb{P}(B_{n}) = \mathbb{P}\left(  \bigcap_{n\geq 0} B_{n}  \right)$



# Exemples