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up:: [[intégration]]
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sibling:: [[intégrale de Riemann]]
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#s/maths/analyse
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> [!definition] [[intégrale de lebesgue]] sur des [[fonction étagée positive|fonctions étagées positives]]
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> Soit $(E, \mathcal{A}, \mu)$ un [[espace mesuré]]
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> Soit $f$ une [[fonction étagée positive]] telle que $f = \sum\limits_{i = 1}^{m} \underbracket{a_{i}}_{\in \mathbb{R}^{+}} \mathbb{1}_{A_{i}}$
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> avec $A_{i} = f^{-1}(\{ \alpha _{i} \})$ une suite d'ensembles deux-à-deux disjoints
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> On appelle **intégrale de $f$ par rapport à $\mu$**, et on note $\int_{E} f\, d\mu$, l'élément de $\overline{\mathbb{R}^{+}}$ donné par :
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> $\boxed{\displaystyle\int _{E} f \, d\mu = \sum\limits_{i}^{n} \Big(\alpha _{i} \mu(A_{i})\Big)}$
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^definition-foncitons-etagees-positives
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> [!definition] [[intégrale de lebesgue]] sur des [[fonction mesurable|fonctions mesurables]]
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> Dans l'[[espace mesuré]] $(E, \mathcal{A}, \mu)$
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> Soit $f : E \to \overline{\mathbb{R}^{+}}$ une [[fonction mesurable]] de $(E, \mathcal{A}) \to (\overline{\mathbb{R}^{+}}, \mathcal{B}(\overline{\mathbb{R}^{+}})$
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> On appelle intégrale de $f$ par rapport à $\mu$ l'élément de $\overline{\mathbb{R}^{+}}$ suivant :
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> $\displaystyle\int _{E} f \, d\mu = \sup \left\{ \int _{E} u \, d\mu \mid u \leq f \right\}$
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^definition-fonctions-mesurables
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# Propriétés
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> [!proposition]+ Croissance de l'intégrale
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> Si $f$ et $g$ sont des [[fonction mesurable|fonctions mesurables]] positives
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> Avec $f \leq g$, alors :
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> $\boxed{\displaystyle \int _{E} f\, d \mu \leq \int _{E} g \, d\mu}$
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > On pose $\mathscr{F} = \{ u \text{ étagée positive} \mid u \leq f \}$
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> > et $\mathscr{G} = \{ u \text{ étagée positive} \mid u \leq g \}$
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> > $\mathscr{F} \subseteq \mathscr{G}$
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> > donc, par passage au [[supremum]] :
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> > $\sup \left\{ \int _{E} u \, d\mu \mid u \in \mathscr{F} \right\} \leq \sup \left\{ \int _{E} v \, d\mu \mid v \in \mathscr{G} \right\}$
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> > C'est-à-dire :
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> > $\displaystyle \int _{E} f \, d\mu \leq \int _{E} g \, d\mu$
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![[théorème de convergence monotone des intégrales#^theoreme]]
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# Exemples
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