up:: [[intégration]]
sibling:: [[intégrale de Riemann]]
#s/maths/analyse 

> [!definition] [[intégrale de lebesgue]] sur des [[fonction étagée positive|fonctions étagées positives]]
> Soit $(E, \mathcal{A}, \mu)$ un [[espace mesuré]]
> Soit $f$ une [[fonction étagée positive]] telle que $f = \sum\limits_{i = 1}^{m} \underbracket{a_{i}}_{\in \mathbb{R}^{+}} \mathbb{1}_{A_{i}}$
> avec $A_{i} = f^{-1}(\{ \alpha _{i} \})$ une suite d'ensembles deux-à-deux disjoints
> 
> On appelle **intégrale de $f$ par rapport à $\mu$**, et on note $\int_{E} f\, d\mu$, l'élément de $\overline{\mathbb{R}^{+}}$ donné par :
> $\boxed{\displaystyle\int _{E} f \, d\mu = \sum\limits_{i}^{n} \Big(\alpha _{i} \mu(A_{i})\Big)}$
^definition-foncitons-etagees-positives

> [!definition] [[intégrale de lebesgue]] sur des [[fonction mesurable|fonctions mesurables]]
> Dans l'[[espace mesuré]] $(E, \mathcal{A}, \mu)$
> Soit $f : E \to \overline{\mathbb{R}^{+}}$ une [[fonction mesurable]] de $(E, \mathcal{A}) \to (\overline{\mathbb{R}^{+}}, \mathcal{B}(\overline{\mathbb{R}^{+}})$ 
> On appelle intégrale de $f$ par rapport à $\mu$ l'élément de $\overline{\mathbb{R}^{+}}$ suivant :
> $\displaystyle\int _{E} f \, d\mu = \sup \left\{  \int _{E} u \, d\mu  \mid u \leq f \right\}$
^definition-fonctions-mesurables

# Propriétés


> [!proposition]+ Croissance de l'intégrale
> Si $f$ et $g$ sont des [[fonction mesurable|fonctions mesurables]] positives
> Avec $f \leq g$, alors :
> $\boxed{\displaystyle \int _{E} f\, d \mu \leq \int _{E} g \, d\mu}$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > On pose $\mathscr{F} = \{ u \text{ étagée positive} \mid u \leq f \}$
> > et $\mathscr{G} = \{  u \text{ étagée positive} \mid u \leq g \}$
> > $\mathscr{F} \subseteq \mathscr{G}$
> > donc, par passage au [[supremum]] :
> > $\sup \left\{  \int _{E} u \, d\mu  \mid u \in  \mathscr{F} \right\} \leq \sup \left\{  \int _{E} v \, d\mu \mid v \in \mathscr{G} \right\}$
> > C'est-à-dire :
> > $\displaystyle \int _{E} f \, d\mu \leq \int _{E} g \, d\mu$

![[théorème de convergence monotone des intégrales#^theoreme]]



# Exemples