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aliases:
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- connexe
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up:: [[espace métrique]]
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#s/maths/algèbre
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> [!definition] [[espace métrique connexe]]
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> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]].
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> On dit que $X$ est **connexe** si $\emptyset$ et $X$ sont les seules parties à la fois ouvertes et fermées de $X$.
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^definition
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# Propriétés
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> [!proposition]+ Définitions alternatives
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> On a équivalence entre les proposition suivantes :
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> - $A$ est connexe
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> - $A$ ne **s'écrit pas** comme la réunion disjointe de deux ouverts non vides
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> - $A$ ne **s'écrit pas** comme la réunion disjointe de deux fermés non vides
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> - les seules parties à la fois fermées et ouvertes de $A$ sont $\emptyset$ et $A$
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> - toute [[application continue]] $f : A \to \{ 0, 1 \}$ est constante
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> [!proposition]+ les fonctions continues préservent la connexité
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> L'image d'un connexe par une [[application continue|fonction continue]] est un connexe.
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> [!proposition]+ Théorème de passage à la douane
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> Dans un espace topologique $X$
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> Soit $A \subset X$
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> Toute partie $C$ connexe qui rencontre à la fois $A$ et son complémentaire rencontre nécessiarement la [[frontière d'une partie d'un espace métrique|frontière]] de $A$
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> Autrement dit :
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> $\forall C \subset X,\quad ((C\cap A \neq \emptyset) \wedge C \cap (A^{\complement} \neq 0)) \implies C \cap \partial A$
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# Exemples
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> [!example] $\mathbb{R}^{*}$ n'est pas connexe
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> - $\mathbb{R}^{+*}$ est une partie ouverte et fermée de $\mathbb{R}^{*}$
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> - $\mathbb{R}^{-*}$ est une partie ouverte et fermée de $\mathbb{R}^{*}$
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> Donc, $\mathbb{R}^{*}$ n'est pas connexe
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