cours/espace métrique connexe.md

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up:: espace métrique #s/maths/algèbre

[!definition] espace métrique connexe Soit (X, d) un espace métrique. On dit que X est connexe si \emptyset et X sont les seules parties à la fois ouvertes et fermées de X. ^definition

Propriétés

[!proposition]+ Définitions alternatives On a équivalence entre les proposition suivantes :

• A est connexe
• A ne s'écrit pas comme la réunion disjointe de deux ouverts non vides
• A ne s'écrit pas comme la réunion disjointe de deux fermés non vides
• les seules parties à la fois fermées et ouvertes de A sont \emptyset et A
• toute application continue f : A \to \{ 0, 1 \} est constante

[!proposition]+ les fonctions continues préservent la connexité L'image d'un connexe par une application continue est un connexe.

[!proposition]+ Théorème de passage à la douane Dans un espace topologique X Soit A \subset X Toute partie C connexe qui rencontre à la fois A et son complémentaire rencontre nécessiarement la frontière d'une partie d'un espace métrique de A Autrement dit : \forall C \subset X,\quad ((C\cap A \neq \emptyset) \wedge C \cap (A^{\complement} \neq 0)) \implies C \cap \partial A

Exemples

[!example] \mathbb{R}^{*} n'est pas connexe

• \mathbb{R}^{+*} est une partie ouverte et fermée de \mathbb{R}^{*}
• \mathbb{R}^{-*} est une partie ouverte et fermée de \mathbb{R}^{*} Donc, \mathbb{R}^{*} n'est pas connexe