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- s/maths/algèbre
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> [!definition] Définition
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> Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]] de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension]] $n$
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> Soit $x \in E$, notons :
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> $\begin{align} \tilde{x} : E^{*} &\to K \\ \varphi & \mapsto \varphi(x) \end{align}$
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> Si $\tilde{x}$ est linéaire, alors $\tilde{x} \in \mathscr{L}(E^{*}, K) = E^{**}$
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> L'ensemble $E^{* *}$ des applications linéaires de $\mathscr{L}(E^{*}, K)$ est appelé **bidual de $E$**
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^definition
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# Propriétés
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> [!proposition]+
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> Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]] de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension]] $n$ **finie**
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> Soit $x \in E$, notons :
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> $\begin{align} \tilde{x} : E^{*} &\to K \\ \varphi & \mapsto \varphi(x) \end{align}$
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> Posons
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> $\begin{align} T : E &\to E^{**} \\ x &\mapsto \tilde{x} \end{align}$
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> Alors **$T$ est un [[isomorphisme]]**
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > - $T$ est linéaire, en effet :
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> > Soient $x, y \in E$ et $\lambda \in K$
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> > $\forall \varphi \in E^{*},\quad T(x+\lambda y)(\varphi) = \varphi(x + \lambda y) = \varphi(x)+\lambda \varphi(y) = T(x)(\varphi) + \lambda T(y)(\varphi)$
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> > donc $T(x) + \lambda T(y) = T(x+\lambda y)$
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> > - $\dim E = \dim E^{*}$
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> > - Il suffit de vérifier que $T$ est injective, i.e. $\ker \varphi = \{ 0 \}$
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> > Soit $x \in E$ avec $x \neq 0$
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> > Je peux compléter $\{ x \}$ en une base $\{ x, e_2, \dots, e_{n} \}$ de $E$ ([[théorème de la base incomplète]])
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> > On définit $\varphi \in E^{*}$ par $\begin{cases} \varphi(x) = 1\\ \varphi(e_{i}) = 0 \end{cases}$
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> > alors $\varphi(x) \neq 0$ et $T(x)(\varphi) \neq 0$ et donc $T(x) \neq 0$
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> > On a montré que $x \neq 0 \implies T(x) \neq 0$, donc $\ker T = \{ 0 \}$ d'où suit que $T$ est injective
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> >
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> > Ainsi, $T$ est une application linéaire et injective entre deux espaces de même dimension, d'où suit que $T$ est un isomorphisme.
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# Exemples
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