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  - s/maths/algèbre
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> [!definition] Définition
> Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]] de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension]] $n$
> Soit $x \in E$, notons : 
> $\begin{align} \tilde{x} : E^{*} &\to K \\ \varphi & \mapsto \varphi(x) \end{align}$
> Si $\tilde{x}$ est linéaire, alors $\tilde{x} \in \mathscr{L}(E^{*}, K) = E^{**}$
> L'ensemble $E^{* *}$ des applications linéaires de $\mathscr{L}(E^{*}, K)$ est appelé **bidual de $E$**
^definition

# Propriétés

> [!proposition]+ 
> Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]] de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension]] $n$ **finie**
> Soit $x \in E$, notons :
> $\begin{align} \tilde{x} : E^{*} &\to K \\ \varphi & \mapsto \varphi(x) \end{align}$
> Posons
> $\begin{align} T : E &\to E^{**} \\ x &\mapsto \tilde{x} \end{align}$
> Alors **$T$ est un [[isomorphisme]]**
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > - $T$ est linéaire, en effet :
> >   Soient $x, y \in E$ et $\lambda \in K$
> >   $\forall \varphi \in E^{*},\quad T(x+\lambda y)(\varphi) = \varphi(x + \lambda y) = \varphi(x)+\lambda \varphi(y) = T(x)(\varphi) + \lambda T(y)(\varphi)$
> >   donc $T(x) + \lambda T(y) = T(x+\lambda y)$
> > - $\dim E = \dim E^{*}$
> > - Il suffit de vérifier que $T$ est injective, i.e. $\ker \varphi = \{ 0 \}$
> >   Soit $x \in E$ avec $x \neq 0$
> >   Je peux compléter $\{ x \}$ en une base $\{ x, e_2, \dots, e_{n} \}$ de $E$ ([[théorème de la base incomplète]])
> >   On définit $\varphi \in E^{*}$ par $\begin{cases} \varphi(x) = 1\\ \varphi(e_{i}) = 0 \end{cases}$
> >   alors $\varphi(x) \neq 0$ et $T(x)(\varphi) \neq 0$ et donc $T(x) \neq 0$
> >   On a montré que $x \neq 0 \implies T(x) \neq 0$, donc $\ker T = \{ 0 \}$ d'où suit que $T$ est injective
> >   
> > Ainsi, $T$ est une application linéaire et injective entre deux espaces de même dimension, d'où suit que $T$ est un isomorphisme.

# Exemples