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up: "[[polynôme]]"
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tags:
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- "#s/maths/algèbre"
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- "#s/maths/analyse"
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> [!definition] Définition
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> Soit $A$ un anneau
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> L'ensemble des [[polynôme|polynômes]] sur $A$ est noté $A[X]$ (parfois aussi noté $A[\mathbb{X}]$)
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^definition
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> [!definition] Lois sur les polynômes
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> Soit $A$ un anneau
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> Soient $P, Q \in A[X]$ deux polynômes
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> Soient $m, n \in \mathbb{N}$ tels que $\begin{cases} a_{k} = 0 \text{ si } k \geq n + 1 \\ b_{k} = 0 \text{ si } k \geq m+1 \end{cases}$
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> On définit les deux [[loi de composition interne|lois de composition internes]] suivantes :
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> 1. $P + Q = \sum\limits_{k = 0}^{\max(m, n)}(a_{k}+b_{k})X^{k}$
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> 2. $P\cdot Q = \sum\limits_{k = 0}^{m +n} C_{k}X^{k}$ avec $C_{k} = \sum\limits_{l = 0}^{k}a_{l}b_{k -l}$
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>
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```breadcrumbs
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title: "Sous-notes"
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type: tree
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collapse: false
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show-attributes: [field]
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field-groups: [downs]
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depth: [0, 0]
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```
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# Propriétés
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> [!proposition]+ Les polynômes sur un anneau forment un anneau commutatif
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> Soit $A$ un [[anneau]]
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> $(A[X], +, \cdot)$ est un [[anneau commutatif]]
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>
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> De plus, l'application :
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> $\begin{align} \varphi : A &\to A[X] \\ a &\mapsto (a, 0, 0, 0, \dots) \end{align}$
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> est un [[morphisme]] [[injection|injectif]]
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> - i il pourra arriver qu'on note $A \subset A[X]$ les polynôme de degré $\leq 0$
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^ensemble-des-polynomes-anneau-commutatif
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> [!proposition]+ Les polynômes sur un corps forment un espace vectoriel
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> Soit $K$ un [[corps]]
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> $(K[X], +, \cdot)$ est un $K$-[[espace vectoriel]]
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> [!proposition]+ Les polynômes sur un corps forment un anneau principal
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> Soit $K$ un [[corps]]
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> alors $K[X]$ est [[idéal principal|principal]]
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> De plus, tout idéal $\neq \{ 0 \}$ est engendré par un unique [[polynôme unitaire]]
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>
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > On suppose $I \neq \{ 0 \}$
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> > Notons $n = \min \{ \operatorname{deg} P \mid P \in I \wedge P \neq 0 \}$
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> > Soit $P \in I$ de degré $n$
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> > Montrons que $I = (P) = P\cdot K[X]$
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> > $P \in I$ par définiton, et il est donc évident que $(P) \subset I$
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> > Montrons que $I \subset (P)$
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> > Soit $Q \in I$
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> > $P \neq 0$ on peut faire la [[division euclidienne de polynômes]]
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> > ainsi $\exists! (A, B) \in K[X],\quad Q = AP +B \text{ où } \operatorname{deg}B < \operatorname{deg}P$
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> > $B = \underbracket{Q}_{\in I} - A \underbracket{P}_{\in I} \in I$ car $I$ est [[idéaux d'un anneau|idéal]]
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> > On a donc construit $B \in I$ tel que $\operatorname{deg}B < n = \min \{ \operatorname{deg}P \mid P \in I \wedge P \neq 0 \}$
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> > Ainsi $B = 0$ et donc :
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> > $Q = AP \in P K[X] = (P)$
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> > Donc on a bien $Q \in (P)$ d'où suit que $I \subset (P)$
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> >
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> > Comme on a montré que $(P) \subset I$ et $I \subset (P)$, on sait que $I = (P)$
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> >
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> > ---
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> > $P \neq 0$ donc son [[coefficient dominant d'un polynôme|coefficient dominant]] est $\neq 0$
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> > Posons $P_{0} = \alpha ^{-1}P$ [[polynôme unitaire|unitaire]]
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> > Montrons que $(P_0) = (P)$
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> > $P_0 = \alpha ^{-1}P \in K[X]P$
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> > donc $P_0 \in (P)$ et donc $(P_0) \subset (P)$
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> > Réciproquement $P = \alpha P_0 \in (P_0) \implies (P) \subset (P_0)$
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> > Donc on a bien $(P_0) = (P)$
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> >
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> > On a montré que $I$ est engendré par un [[polynôme unitaire]] $P_0$
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> > Montrons que ce polynôme est unique.
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> > Soit $Q$ [[polynôme unitaire|unitaire]] tel que $I = (Q)$
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> > $P_0 \mid Q$ et $Q\mid P_0$ donc $P_0 = Q$
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> [!proposition]+
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> Soit $A$ un [[anneau intègre]]
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> Soit $P \in A[X]$ [[polynôme irréductible|irréductible]] avec $P \neq 0$
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> On a équivalence entre les propositions :
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> 1. $P$ est non inversible
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> 2. $P = RS \implies R \text{ ou } S \text{ inversible}$
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# Exemples
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- $\mathbb{R}[X]$ l'ensemble des polynômes sur $\mathbb{R}$
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- $\mathbb{C}[X]$ l'ensemble des polynômes sur $\mathbb{C}$
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