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up: "[[polynôme]]"
tags:
  - "#s/maths/algèbre"
  - "#s/maths/analyse"
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> [!definition] Définition
> Soit $A$ un anneau
> L'ensemble des [[polynôme|polynômes]] sur $A$ est noté $A[X]$ (parfois aussi noté $A[\mathbb{X}]$)
^definition

> [!definition] Lois sur les polynômes
> Soit $A$ un anneau
> Soient $P, Q \in A[X]$ deux polynômes
> Soient $m, n \in \mathbb{N}$ tels que $\begin{cases} a_{k} = 0 \text{ si } k \geq n + 1 \\ b_{k} = 0 \text{ si } k \geq m+1 \end{cases}$
> On définit les deux [[loi de composition interne|lois de composition internes]] suivantes :
> 1. $P + Q = \sum\limits_{k = 0}^{\max(m, n)}(a_{k}+b_{k})X^{k}$
> 2. $P\cdot Q = \sum\limits_{k = 0}^{m +n} C_{k}X^{k}$ avec $C_{k} = \sum\limits_{l = 0}^{k}a_{l}b_{k -l}$
> 

```breadcrumbs
title: "Sous-notes"
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```
# Propriétés

> [!proposition]+ Les polynômes sur un anneau forment un anneau commutatif
> Soit $A$ un [[anneau]]
> $(A[X], +, \cdot)$ est un [[anneau commutatif]]
> 
> De plus, l'application :
> $\begin{align} \varphi : A &\to A[X] \\ a &\mapsto (a, 0, 0, 0, \dots) \end{align}$
> est un [[morphisme]] [[injection|injectif]]
> - i il pourra arriver qu'on note $A \subset A[X]$ les polynôme de degré $\leq 0$
^ensemble-des-polynomes-anneau-commutatif

> [!proposition]+ Les polynômes sur un corps forment un espace vectoriel
> Soit $K$ un [[corps]]
> $(K[X], +, \cdot)$ est un $K$-[[espace vectoriel]]

> [!proposition]+ Les polynômes sur un corps forment un anneau principal
> Soit $K$ un [[corps]]
> alors $K[X]$ est [[idéal principal|principal]]
> De plus, tout idéal $\neq \{ 0 \}$ est engendré par un unique [[polynôme unitaire]]
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > On suppose $I \neq \{ 0 \}$
> > Notons $n = \min \{ \operatorname{deg} P \mid P \in I \wedge P \neq 0 \}$
> > Soit $P \in I$ de degré $n$
> > Montrons que $I = (P) = P\cdot K[X]$
> > $P \in I$ par définiton, et il est donc évident que $(P) \subset I$
> > Montrons que $I \subset (P)$
> > Soit $Q \in I$
> > $P \neq 0$ on peut faire la [[division euclidienne de polynômes]]
> > ainsi $\exists! (A, B) \in K[X],\quad Q = AP +B \text{ où } \operatorname{deg}B < \operatorname{deg}P$
> > $B = \underbracket{Q}_{\in I} - A \underbracket{P}_{\in I} \in I$ car $I$ est [[idéaux d'un anneau|idéal]]
> > On a donc construit $B \in I$ tel que $\operatorname{deg}B < n = \min \{ \operatorname{deg}P \mid P \in I \wedge P \neq 0 \}$ 
> > Ainsi $B = 0$ et donc :
> > $Q = AP \in P K[X] = (P)$
> > Donc on a bien $Q \in (P)$ d'où suit que $I \subset (P)$
> > 
> > Comme on a montré que $(P) \subset I$ et $I \subset (P)$, on sait que $I = (P)$
> > 
> > ---
> > $P \neq 0$ donc son [[coefficient dominant d'un polynôme|coefficient dominant]] est $\neq 0$
> > Posons $P_{0} = \alpha ^{-1}P$ [[polynôme unitaire|unitaire]]
> > Montrons que $(P_0) = (P)$
> > $P_0 = \alpha ^{-1}P \in K[X]P$
> > donc $P_0 \in (P)$ et donc $(P_0) \subset (P)$
> > Réciproquement $P = \alpha P_0 \in (P_0) \implies (P) \subset (P_0)$
> > Donc on a bien $(P_0) = (P)$
> > 
> > On a montré que $I$ est engendré par un [[polynôme unitaire]] $P_0$
> > Montrons que ce polynôme est unique.
> > Soit $Q$ [[polynôme unitaire|unitaire]] tel que $I = (Q)$
> > $P_0 \mid Q$ et $Q\mid P_0$ donc $P_0 = Q$

> [!proposition]+ 
> Soit $A$ un [[anneau intègre]]
> Soit $P \in A[X]$ [[polynôme irréductible|irréductible]] avec $P \neq 0$
> On a équivalence entre les propositions :
> 1. $P$ est non inversible
> 2. $P = RS \implies R \text{ ou } S \text{ inversible}$

# Exemples
 - $\mathbb{R}[X]$ l'ensemble des polynômes sur $\mathbb{R}$
 - $\mathbb{C}[X]$ l'ensemble des polynômes sur $\mathbb{C}$