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aliases:
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- division de polynômes
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up:
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- "[[polynôme]]"
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tags:
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- s/maths/algèbre
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> [!definition] Division dans $A[X]$
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> Soient $P, Q \in A[X]$
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> On dit que $P$ **divise** $Q$ et on note $P \mid Q$ s'il existe $R \in A[X]$ tel que $Q = PR$
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# Propriétés
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> [!proposition]+
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> $P \mid Q \implies \forall n \in \mathbb{N},\quad P^{n} | Q^{n}$
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> [!proposition]+
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> $P|Q \text{ et } Q\mid P \implies P \text{ et } Q$ sont [[polynômes associés|associés]]
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> [!proposition]+
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> Soient $P, Q, R, S \in A[X]$
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> Si $P$ est [[polynômes associés|associé]] à $R$
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> Si $Q$ est associé à $S$
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> Alors $P \mid Q \iff R \mid S$
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> [!proposition]+ Théorème (division euclidienne)
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> Soit $A$ un [[anneau intègre]]
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> Soient $M, N \in A[X]$ deux [[polynôme|polynômes]] tels que le [[coefficient dominant d'un polynôme|coefficient dominant]] de $N$ soit inversible.
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> Alors, il existe un unique couple $(Q, R) \in A[X]^{2}$ tel que :
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> - $M = QN + R$
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> - $\operatorname{deg}R < \operatorname{deg}N$
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>
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > **unicité :**
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> > supposons qu'il existe $Q, Q', R, R' \in A[X]$ tels que :
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> > $M = QN + R = Q'N + R'$
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> > $\operatorname{deg} R < \operatorname{deg} N$ et $\operatorname{deg} R' < \operatorname{deg}N$
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> > alors $R' - R = (Q' - Q) N$
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> > et comme $A$ est [[anneau intègre|intègre]] on a : $\underbrace{\operatorname{deg}(R' - R)}_{\operatorname{deg} N} = \operatorname{deg}(Q - Q') + \operatorname{deg(N)}$
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> > D'où suit que $\operatorname{deg}(Q-Q') = \operatorname{deg}(R - R') - \operatorname{deg}N < 0$
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> > et donc que $\operatorname{deg}(Q - Q') = -\infty$
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> > De là il appert que $Q = Q'$ et que $R = R'$
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> >
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> > **existence :**
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> > 1. cas particulier $\operatorname{deg}N = 0$
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> > On a donc $N = a \in A^{*}$ (un inversible de $A$)
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> > Pour $M = 0$ on prends $Q = 0$ et $R = 0$
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> > Sinon, on prends $Q = a^{-1} M$ et $R = 0$, et on a alors :
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> > $\underbrace{\operatorname{deg}R}_{-\infty} < \underbrace{\operatorname{deg}N}_{0}$
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> > Et $M = \underbracket{a}_{N}\cdot \underbracket{a^{-1}M}_{Q} + \underbracket{0}_{R}$
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> > 2. cas particulier $\operatorname{deg} M < \operatorname{deg} N$
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> > Notons $m = \operatorname{deg} M$ et $n = \operatorname{deg} n$
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> > $M = \underbracket{0}_{Q}\cdot N + \underbracket{M}_{R}$
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> > $\operatorname{deg}R - \operatorname{deg}M < \operatorname{deg}N$
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> > On fixe $N$ avec $\operatorname{deg}n$
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> > [!corollaire]
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> > Si $K$ est un [[corps]]
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> > $\forall M \in K[X]$
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> > $\forall N \in K[X] \setminus \{ 0 \}$
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> > $\exists (Q, R) \in K[X]^{2},\quad \begin{cases} M = QN +R\\ \operatorname{deg} R < \operatorname{deg} N \end{cases}$
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