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aliases:
  - division de polynômes
up:
  - "[[polynôme]]"
tags:
  - s/maths/algèbre
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> [!definition] Division dans $A[X]$
> Soient $P, Q \in A[X]$
> On dit que $P$ **divise** $Q$ et on note $P \mid Q$ s'il existe $R \in A[X]$ tel que $Q = PR$

# Propriétés

> [!proposition]+ 
> $P \mid Q \implies \forall n \in \mathbb{N},\quad P^{n} | Q^{n}$

> [!proposition]+ 
> $P|Q \text{ et } Q\mid P \implies P \text{ et } Q$ sont [[polynômes associés|associés]]

> [!proposition]+ 
> Soient $P, Q, R, S \in A[X]$
> Si $P$ est [[polynômes associés|associé]] à $R$
> Si $Q$ est associé à $S$
> Alors $P \mid Q \iff R \mid S$

> [!proposition]+ Théorème (division euclidienne)
> Soit $A$ un [[anneau intègre]]
> Soient $M, N \in A[X]$ deux [[polynôme|polynômes]] tels que le [[coefficient dominant d'un polynôme|coefficient dominant]] de $N$ soit inversible.
> Alors, il existe un unique couple $(Q, R) \in A[X]^{2}$ tel que :
> - $M = QN + R$
> - $\operatorname{deg}R < \operatorname{deg}N$
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > **unicité :**
> > supposons qu'il existe $Q, Q', R, R' \in A[X]$ tels que :
> > $M = QN + R = Q'N + R'$
> > $\operatorname{deg} R < \operatorname{deg} N$ et $\operatorname{deg} R' < \operatorname{deg}N$
> > alors $R' - R = (Q' - Q) N$
> > et comme $A$ est [[anneau intègre|intègre]] on a : $\underbrace{\operatorname{deg}(R' - R)}_{\operatorname{deg} N} = \operatorname{deg}(Q - Q') + \operatorname{deg(N)}$
> > D'où suit que $\operatorname{deg}(Q-Q') = \operatorname{deg}(R - R') - \operatorname{deg}N < 0$
> > et donc que $\operatorname{deg}(Q - Q') = -\infty$
> > De là il appert que $Q = Q'$ et que $R = R'$
> > 
> > **existence :**
> > 1. cas particulier $\operatorname{deg}N = 0$
> >    On a donc $N = a \in A^{*}$ (un inversible de $A$)
> >    Pour $M = 0$ on prends $Q = 0$ et $R = 0$
> >    Sinon, on prends $Q = a^{-1} M$ et $R = 0$, et on a alors :
> >    $\underbrace{\operatorname{deg}R}_{-\infty} < \underbrace{\operatorname{deg}N}_{0}$
> >    Et $M = \underbracket{a}_{N}\cdot \underbracket{a^{-1}M}_{Q} + \underbracket{0}_{R}$
> > 2. cas particulier $\operatorname{deg} M < \operatorname{deg} N$
> > Notons $m = \operatorname{deg} M$ et $n = \operatorname{deg} n$
> > $M = \underbracket{0}_{Q}\cdot N + \underbracket{M}_{R}$
> > $\operatorname{deg}R - \operatorname{deg}M < \operatorname{deg}N$
> > On fixe $N$ avec $\operatorname{deg}n$
> 
> > [!corollaire] 
> > Si $K$ est un [[corps]]
> > $\forall M \in K[X]$
> > $\forall N \in K[X] \setminus \{ 0 \}$
> > $\exists (Q, R) \in K[X]^{2},\quad \begin{cases} M = QN +R\\ \operatorname{deg} R < \operatorname{deg} N \end{cases}$
>