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id: groupe
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tags: []
sr-due: "2023-08-06"
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up::[[structure algébrique]]
#s/maths/algèbre 

> [!definition] [[groupe]]
> Un ensemble $G$ muni d'une [[loi de composition interne]] $*$ est un _groupe_ ssi :
> - La loi $*$ est [[associativité|associative]]
> - $G$ possède un [[élément neutre]] pour $*$
> - Tout élément de $G$ possède un [[éléments inversibles|inverse]] par $*$
^definition

> [!definition] [[groupe]] - définition formelle
> Un groupe est la donnée d'un ensemble non vide $G$ et d'une [[loi de composition interne]] $*$ tels que :
> - $*$ est [[associativité|associative]]
>     - $\forall (a, b, c) \in G^{3}, \quad a*(b*c) = (a*b)*c = a*b*c$
> - $G$ admet un [[élément neutre]] pour $*$
>     - $\exists e \in G, \quad \forall g \in G, \quad e*g=g*e=g$
>     - on montre qu'il est [[groupe#^unicite-element-neutre|unique]]
> - tout élément de $G$ possède un inverse pour $*$
>     - $\forall g \in G, \quad \exists h \in G, \quad g*h = h*g = e$ (l'élément neutre)
>     - on montre qu'il est [[groupe#^unicite-inverse|unique]]
^definition-formelle

```breadcrumbs
title: "Sous-notes"
type: tree
collapse: true
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field-groups: [downs]
depth: [0, 0]
```
# Propriétés

> [!proposition]+ Un groupe n'est jamais vide
> Un groupe n'est jamais vide
>  - dem En effet, s'il était vide, il ne pourrait pas posséder d'élément neutre

> [!proposition]+ Unicité de l'élément neutre
> Soit $(G, *)$ un [[groupe]].
> L'élément neutre  $e \in G$ est unique (il n'y a pas d'autre élément respectant les propriétés de l'élément neutre)
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Soient $e, e' \in G^{2}$ deux éléments neutres de ce groupe
> > On a :
> > - $e * e' = e'$ car $e$ est un élément neutre
> > - $e*e' = e$ car $e'$ est un élément neutre
> > Donc $e = e'$ par [[relation transitive|transitivité]] de l'égalité.
> > On sait donc qu'il ne peut pas y avoir deux éléments neutres distincs.
^unicite-element-neutre

> [!proposition]+ Unicité de l'inverse
> L'inverse d'un élément est toujours unique.
> Autrement dit : $\forall x \in G,\quad \exists ! y \in G,\quad x*y = y*x = e$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > On suppose qu'un élément $a\in E$ possède deux inverses $a'$ et $a''$ pour la loi $*$. (On suppose que $e$ possède un élément neutre $e$).
> > Alors :
> >  - $a*a' = e = a'*a$
> >  - $a*a'' = e = a''*a$
> >  - $a''*(a*a') = (a''*a)*a'$
> >  - $a''*e = e*a'$, soit $a''=a$
> > Il n'est dont pas possible qu'un élément possède deux inverses.
> > 
> > Donc tout élément de $E$ possède au maximum un inverse
^unicite-inverse

> [!proposition]+ Distributivité de l'inverse
> Soient $x_1, x_2 \in G$
> on a : $(x_1 * x_2)^{-1} = x_2^{-1}*x_1^{-1}$
> > [!démonstration]- Démonstration
> >  On suppose que deux éléments $x_1$ et $x_2$ dans $E$ possèdent chacun un inverse. La loi $*$ est supposée associative.
> >  $x_1*x_1^{-1} = e = x_1^{-1} * x_1$
> >  $x_2*x_2^{-1} = e = x_2^{-1} * x_2$
> >  $\begin{aligned}(x_1*x_2)*(x_2^{-1}*x_1^{-1}) &= x_1 * (x_2*x_2^{-1})*x_1{-1}\\ &= x_1*(e*x_1^{-1})\\ &= x_1*c_1^{-1}\\ &= e\end{aligned}$
> >  
> >  
> >  Donc $x_2^{-1} * x_1^{-1}$ est un inverse à droite de $x_1*x_2$.
> >  
> >  $\begin{aligned}(x_2^{-1}*x_1^{-1})*(x_1*x_2) &= x_2^{-1}*(x_1^{-1}*x_1)*x_2\\ &= x_2^{-1}*x_2\\ &= e\end{aligned}$
> >  ainsi on obtient bien : $(x_1*x_2)^{-1} = x_2^{-1}*x_1^{-1}$
^distributivite-inverse

> [!proposition]+ Propagation de la commutativité sur les inverses
> Soient $a, b, \in G$
> Si $a$ et $b$ commutent (i.e. si $a*b = b*a$) alors $a^{-1}$ et $b^{-1}$ commutent aussi (i.e. $a^{-1}*b^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$)

> [!proposition]+ Quelques propriétés
> Soient $a, x, y \in G$
> - Les équivalences suivantes sont véfifiées :
>     - $a*x = a*y \iff x=y$
>     - $x*a = y*a \iff x = y$
>     - $a*x=b \iff (a^{-1}*a)*x=a^{-1}*b \iff x=a^{-1}*b$
>     - $x*a=b \iff x=b*a^{-1}$

> [!definition] Itéré d'un élément
> L'itéré $n$-ème d'un élément s'écrit : $a^{*n}$ (ou $a^n$ par abus de langage quand on assimile $*$ à la multiplication)
> Il est défini comme suit :
> $\begin{cases} a^{*0} = e \\a^{*n+1} = a*a^{*n} \end{cases}$
>  - i On note $(a^{-1})^{*n} = a^{-n}, (n\in\mathbb N)$
>  - on vérifie aisément que $(a^{-1})^{*n} = (a^{*n})^{-1}$ par [[groupe#^distributivite-inverse|distributivité de l'inverse]]

> [!proposition] Inverse d'un produit d'éléments
> - pour $g_1,  g_2, \dots, g_{n-1}, g_{n} \in G$, on a $(g_1*g_2*\cdots*g_{n-1}*g_{n})^{-1} = g_{n}^{-1}*g_{n-1}^{-1}*\cdots*g_2^{-1}*g_1^{-1}$
> - !  il faut bien inverser l'ordre des éléments
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Par réccurence sur $n \in \mathbb{N}^{*}$
> > - **Initialisation**
> > On veut monter que $g_1^{-1} = g_1^{-1}$. C'est évident.
> > - **Hérédité**
> > On suppose la propriété vraie pour un $n-1 \in \mathbb{N}^{*}$
> > Pour $g_1, \dots, g_{n} \in G$, on a :
> > $$\begin{align}
> > (g_1*\cdots*g_{n})*(g_{n}^{-1}*\cdots*g_1^{-1}) &= g_1*\cdots*g_{n-1}*\underbrace{g_{n}*g_{n}^{-1}}_{e_{G}} * g_{n-1}^{-1} *\cdots*g_1^{-1} & \text{ par associativité} \\
> > &= (g_1*\cdots*g_{n-1})*e_{G}*(g_{n-1}^{-1}*\cdots*g_1^{-1}) \\
> > &= (g_1*\cdots*g_{n-1})*(g_{n-1}^{-1}*\cdots*g_1^{-1}) \\
> > &= e_{G } & \text{par hypothèse de récurrence}
> > \end{align}
> > $$